DEPI tema 6

1. Cerintă

Fie doua procese aleatoare X(t) si Y(t) independente statistic, stationare in sens larg, cu

functiile de autocorelatie de forma:

RXX (τ )=2 ⋅exp(−2 ⋅∣τ∣) ⋅cosω ⋅τ

RYY (τ )=1+exp(−2 ⋅∣τ∣)

Fie procesul aleator Z(t)=A X(t)+Y(t), unde A este o variabila Gaussiana aleatorie

independenta statistic (fata de X si Y) cu media μA=0 si varianta σA 2 =1,3 (din tabel). Se

cer:

1). Functia de autocorelatie RZZ (τ) a procesului aleator Z(t), in functie de autocorelatiile

lui X(t) si Y(t);

2). Sa se calculeze media si dispersia semnalului Z(t).

3). Sa se reprezinte grafic functiile de corelatie pentru semnalele X(t), Y(t) si Z(t).

2. Rezolvare

2.1 Functia de autocorelatie RZZ (τ) a procesului aleator Z(t) este:

RZZ (τ)=E{Z(t) ⋅Z (t+τ )}=E {( A⋅X (t)+Y (t)) ⋅( A⋅X (t+τ )+Y (t+τ ))}

RZZ (τ)=E{( A2⋅X (t)⋅X ( t+τ )+A⋅X (t )⋅Y (t+τ)+A⋅Y (t)⋅X (t+τ )+Y (t)⋅Y (t+τ ))}

RZZ ( τ)=E{A2}⋅E {X (t)⋅X (t+τ )}+E {A}⋅E {X (t)⋅Y (t+τ)}+E {A}⋅E {Y (t)⋅X (t+τ)}+E {Y (t)⋅Y (t+τ)}

RZZ (τ)=E{A2}⋅RXX (τ )+E {A}⋅RXY (τ )+E {A}RYX ( τ)+RYY (τ)

Tinand cont ca:

E{A}=0 si asimetria intercorelatiilor RXY ( τ)=RYZ(−τ) rezulta:

RZZ (τ)=E{A2}⋅RXX (τ )+RYY (τ ) inlocuind E{A2}=σ A

2

RZZ ( τ)=σA 2 ⋅RXX ( τ)+RYY (τ)=2⋅σ A

2 ⋅exp (−2 ⋅∣τ∣) ⋅cosω ⋅τ+1+exp(−2 ⋅∣τ∣)

RZZ (τ)=1+e(−2 ⋅∣τ∣) ⋅(1+2 ⋅σ A

2 ⋅ cosω ⋅τ)=1+e(−2 ⋅∣τ∣) ⋅(1+2,6 ⋅cosω ⋅τ)