Digital Signals Proccesing

Digital signals proccesing

3.1 Transformata Fourier

3.1.1 Nota Istorica

Asa cum s-a întâmplat în istoria stiintei o idee aparuta într-un domeniu

particular poate deveni un instrument cu largi disponibilitati de aplicare , pâna la

universalizare. J.B. Fourier (1768-1830) , întors în 1800 din postul de guvernator civil

al Egiptului în timpul lui Napoleon, a început studiul ecuatiei care descrie difuzia în

timp a caldurii; a fost condus la ideea descompunerii solutiei în armonicele sale ,

prezentând-o ,dupa mai multe dificultati si chiar ostilitati din partea oficialitatilor

academice în celebra sa carte "Theorie analytique de la chaleur" (1822). Dar metoda

sa dovedit extrem de fecunda .Seriile Fourier permit astazi decompunerea semnalelor

în armonicile lor, iar transformata Fourier ("transfurierea") permite o trecere

sistematica de la semnale în timp la spectrele lor frecventiale si invers. Se spune,

exagerând putin , ca radiotehnica (respectiv televiziunea ,holografia si tomografia )

înseamna "transfuriere" 1-dimensionala (respectiv 2-dimensionala ,3-dimensionala) .

Dupa ce Maxwell a stabilit în 1873 ecuatiile câmpului electromagnetic, analiza

Fourier a devenit esentiala pentru studiul undelor electromagnetice ca si ale

componentelor lor armonice - raze X, lumina vizibila ,microunde, radiounde

etc...Posibilitatea descompunerii sunetului în componentele lui armonice permite

recunoasterea vocii umane si acelasi lucru este valabil si în recunoasterea si

prelucrarea imaginilor.

Calculul transformatei Fourier se face astazi prin proceduri speciale ca

algoritmul TFR (transformarea Fourier rapida) ,algorimul Winograd

etc...,implementabile pe calculatoarele moderne .

21

3.1.2 Definitia transformatei Fourier a functiilor

Daca f(t) f:-> ( multimea numerelor reale , C multimea numerelor complexe)

este o functie continua ,nula în afara unui interval compact (vom scrie pe scurt în felul

urmator:

se poate considera functia F:->C definita prin

(integrala se considera de fapt un interval compact ) .Comform lemei lui Riemann,

rezulta ca

deasemenea aplicând proprietatile integralelor cu parametrii , rezulta ca functia F este

de clasa C la infinit : anume se verifica usor prin inductie pentru orice k>=0,

Asocierea  -liniara f(t) -> F(w) are multe proprietati matematice interesante,

interpretari fizice sugestive (si chiar implicatii tehnologice exceptionale !), pe care le

vom derula în continuare .

Definitie Pentru orice functie f:-> continua si nula în afara unui interval compact,

functia F:->C definita prin (1) ,se numeste transformata Fourier a lui f.

Vom nota pe scurt :