Transformări ale Imaginilor

1. Transformări ale imaginilor.

Grafica pe calculator este un domeniu modern cu multiple aplicaţii practice în diverse domenii de activitate (medicină, artă, etc.), care pot fi realizate datorită dezvoltării disciplinelor matematice specializate în această direcţie.

În general, putem spune că transformarea unei imagini se adresează ochiului uman, pentru a putea observa mai bine anumite caracteristici ale imaginii studiate, sau prelucrării automate în scopul recunoaşterii formelor.

Scopul transformărilor este de a obţine anumite structuri formate din linii şi curbe necesare recunoaşterii formelor. În analiza imaginilor, o etapă importantă o constituie extragerea caracteristicilor în scopul descrierii sau interpretării scenelor, urmată de o altă etapă şi anume segmentare care presupune printre altele determinarea conturului.

2. Transformări spectrale clasice.

Denumirea de spectru (fantomă, arătare scheletică) provine de la aspectul spectrului optic prin descompunerea luminii prin intermediul unei prisme optice. Lumina este, în general, compunerea unor radiaţii electromagnetice cu diferite lungimi de undă, ca funcţie de lungimea de undă. Spectrul este mulţimea lungimilor de undă pentru care puterea este nenulă.

Un semnal electric periodic, privit ca o funcţie intensitate/timp, se poate scrie ca o sumă de semnale sinusoidale, cu diverse amplitudini şi frecvenţele multiplii ai frecvenţei principale a semnalului. Această scriere este aşa-numita serie Fourier. Amplitudinile sinusoidelor, ca funcţie de frecvenţă, alcătuiesc, prin analogie cu cazul luminii, distribuţia spectrala (spectrul) semnalului.

Noţiunile de spectru şi de distribuţie spectrală au fost extinse la alte domenii în care un obiect supus studiului este alcătuit prin însumarea unor obiecte elementare, parametrizate. Ponderea obiectelor elementare, ca funcţie de parametrii ce le descriu, alcătuieşte distribuţia spectrală a obiectului supus studiului.

În prelucrarea imaginilor, obiectele supuse studiului sunt imaginile, care sunt în general funcţii, definite pe sau pe o submulţime a sa, cu valori reale. Transformările

spectrale sunt operaţiile prin care se obţine o distribuţie spectrală pornind de la imaginea iniţială şi reciproc.

2.1. Transformata Fourier discretă.

Transformata Fourier este poate cea mai importantă transformare integrală unitară, ce

asigură trecerea între spaţiul semnalului şi spaţiul de frecvenţe ale semnalului. După cum semnalul este “clasic” (temporal, şi deci unidimensional) sau cu suport spaţial bidimensional (imagine), spaţiul de frecvenţă marchează frecvenţe propriu-zise sau frecvenţe spaţiale.

Transformata Fourier discretă bidimensională este o transformare separabilă, în care nucleul se poate descompune în termeni identici A = B = F. Matricea F a transformării este o matrice unitară, ce verifică. Elementele matricei transformării sunt exponenţialele complexe:

(1.1)

Separabilitatea ne permite deci să studiem majoritatea proprietăţilor transformării pe cazul unidimensional, urmând ca rezultatele să fie uşor extinse pentru cazul bidimensional. Folosind notaţiile introduse în formula (1.1), putem scrie deci transformata Fourier unidimensională directă ca:

(1.2)

iar transformarea inversă ca :

(1.3)

Relaţiile se extind imediat la cazul bidimensional:

Trebuie totuşi remarcat că formele prezentate ale transformărilor nu mai sunt unitare (apare o asimetrie între transformarea directă şi cea inversă prin factorul de scalare de tip 1/N). Matematic, definiţia (1.1) este corectă, dar în practică se folosesc formele neunitare prezentate în (1.2), (1.3) şi (1.4), (1.5).

2.2. Proprietăţile fundamentale ale transformatei Fourier.

Dintre numeroasele proprietăţi ale transformatei Fourier mă voi referi explicit doar la două proprietăţi fundamentale: simetria centrală a spectrului de frecvenţă (având drept consecinţă importantă faptul că este necesar acelaşi spaţiu de memorie pentru a reprezenta fie spectrul unei imagini, fie imaginea propriu-zisă) şi teorema convoluţiei circulare (care face legătura între filtrarea în domeniul spaţial şi în domeniul de frecvenţă).

Transformata Fourier a unei secvenţe (matrice) reale este complex conjugată faţă de mijlocul său. Aceasta înseamnă că :

Relaţiile arată că există o simetrie centrală a spectrelor de frecvenţă, în centru aflându-se o valoare reală. Dar singura valoare reală din spectre este cea ce corespunde componentei de frecvenţă nulă (componenta medie), şi deci este necesară o interschimbare a jumătăţilor de spectru (în cazul secvenţelor unidimensionale) sau a sferturilor de spectru (în cazul imaginilor), astfel încât componenta de frecvenţă nulă să fie în centru.