Deconvoluția Robustă a Semnalelor Deterministe Aleatoare

Se pune problema proiectării unui filtru de estimare pentru a reface un semnal x[n], care a fost folosit într-o convoluţie cu un filtru liniar invariant în timp şi afectat de zgomot aditiv.

Cazurile tratate: x[n] - semnal determinist sau x[n] – proces staţionar aleator.

- Semanlele deterministe: semnalul are energie limitată

- Semnalele stochastice: spectrele de putere ale semnalului şi ale zgomotului sunt mărginite în fiecare frecvenţă.

Problema întâlnită în estimări este faptul că eroarea medie pătratică Mean squarred error – MSE de la ieşirea filtrelor de estimare, depinde de nişte necunoscute şi astfel nu poate fi minimizată.

• Pentru semnalele deterministe, s-a dezvoltat un estimator minimax al MSE care minimizează cea mai defavorabilă valoarea a MSE, între valoarea reală a semnalului x[n] şi semnalul estimat, peste clasa valorilor de intrare.

 MSE de la ieşirea filtrului minimax MSE este mai mică decât MSE de la ieşirea filtrelor convenţionale de inversare pentru toate semnalele admise

• Pentru semnalele stochastice: filtrul de estimare regret minimax pentru incertitudinile din spectrul de putere este folosit pentru a minimiza cazul cel mai defavorabil al diferenţei dintre MSE din spectrul de putere cu incertitudini şi MSE din filtrul Wiener cu spectrul de putere corect.

 Filtrul de regret minimax are în vedere întregul interval de incertitudine şi aduce îmbunătăţiri faţă de filtrele minimax tradiţionale.

Deconvoluţia este folosită pentru eliminarea influenţelor sistemului asupra semnalului de intrare.

De exemplu: deconvoluţia unui semnal filtrat, dar afectat de zgomot, considerând cunoscut răspunsul canalului, cum este cazul unui model liniar de estimare a unui semnal de intrare x[n] dintr-un semnal de ieşire y[n], folosind un estimator liniar invariant în timp (LIT), unde semnalul este convoluţionat cu un filtru LIT cu răspunsul h[n] şi perturbat de un proces de zgomot staţionar w[n].

Pentru a realiza un filtru de estimare se urmăreşte minimizarea erorii pătratice dintre x[n] şi [n] – ieşirea filtrului de estimare.

Atunci când x[n] este un semnal determinist, eroarea medie pătratică (MSE) este dependentă de semnalul x[n], care este necunoscut.

Dacă x[n] este un proces staţionar aleator, eroarea medie pătratică (MSE) depinde de zonele de incertitudine din spectrul de putere al semnalului.

În ambele cazuri, MSE depinde de funcţiile asociate semnalului, care, în situaţia de faţă se presupun a fi necunoscute. Aşadar MSE nu poate fi minimizată. Astfel, o alternativă care poate fi folosită este filtrul pentru deconvoluţie.

Problema se adresează atât semnalor deterministe, cât şi celor stochastice. Se porneşte de la premiză că se cunoaşte clasa de semnale care stau la bază.

Fig. 1 Implementarea problemei

În cazul semnalelor deterministe, considerăm că semnalul de intrare x[n] are norma limitată.

În cazul semnalelor stochastice, spectrele de putere ale semnalului şi zgomotului sunt mărginite la fiecare frecvenţă.

Pentru ambele cazuri se caută o metodă de filtrare robustă, cu performanţe relativ bune pentru clasa semnalelor de intrare.

Una dintre cele mai importante tehnici de proiectare a sistemelor robuste pentru modelarea incertitudinilor este aproximarea minimax a erorii medii pătratice (MSE). Această aproximare a fost aplicată unei game de semnale procesate şi priveşte problemele specifice comunicaţiilor, precum şi probleme legate de filtrarea liniară, în care semnalul de intrare x[n] este aleator, dar zgomotul w[n] nu este complet specificat.

Un exemplu de aproximare minimax a MSE este estimarea unui vector determinist dintr-un set finit de „observaţii zgomotoase”.

Prin extindere, s-a realizat un filtru de estimare care minimizează cel mai defavorabil caz al MSE.

Avantajul acestei strategii, faţă de metoda convoluţională de filtrare inversă, este faptul că MSE de la ieşirea filtrului minimax MSE este mai mică decât MSE rezultată pentru filtrul invers al celor mai mici pătrate.

Spre deosebire de cazurile semnalelor deterministe în care MSE depinde de x[n], când x[n] este un proces staţionar aleator, MSE nu mai depinde de semnal, în schimb depinde de spectrele de putere ale semnalului şi zgomotului. Dacă aceste spectre sunt cunoscute, atunci MSE poate fi minimizat direct. Soluţia optimă este binecunoscutul filtru Wiener.

Dacă spectrele nu sunt complet specificate, atunci nu poate fi obţinută o soluţie pentru minimizarea erorii medii pătratice MSE.

O problemă interesantă, care a atras atenţia în domeniu este proiectarea filtrelor robuste de sistem Wiener, care au o performanţă rezonabilă peste toate spectrele posibile, cu regiuni de incertitudine. Soluţia este alegerea unui filtru care minimizează cel mai rău caz MSE pentru o anumită clasă de spectre.

În secţiunile următoare, se consideră cazul în care x[n] este un proces staţionar aleator, independent de zgomotul w[n], iar spectrele de putere ale semnalului şi al zgomotului sunt conforme cu modelul de incertitudine al unei benzi în care spectrele de putere au frecvenţele între limite cunoscute. În acest model, filtrul MSE minimax standard se potriveşte cu un filtru Wiener în limita superioară a spectrului de putere, fiind astfel prea conservativ.