Aplicația integralei duble

CAPITOLUL I. NOŢIUNII FUNDAMENTALE PRIVIND INTEGRALA DEFINITĂ.

1.1. Conceptul de integrală definită.

1.1.1. Definiţia şi proprietăţi.

Fie segmental . Se numeşte diviziune a segmentului o familie finită de puncte din astfel încît .

Segmentele se numeşte segmente parţiale ale acestei diviziuni, iar cea mai mare dintre lungimile segmentelor parţiale o vom numi pasul diviziunii d şi-l vom nota prin sau .

Aşadar, .

Fie şi două diviziuni ale segmentului . Se spune că este mai fină decît , dacă orice punct al diviziuni este un punct al diviziuni , adică mulţimea este inclusă în mulţimea . Dacă este mai fină decît , vom scrie sau . Prin urmare, prin trecerea la o diviziune mai fină, pasul diviziunii nu creşte (se micşorează sau rămîne acelaşi).

Remarcăm că dacă , aceasta nu înseamnă că este mai fină decît , deoarece diviziunea poate fi formată din segmente parţiale mai mici decît ale diviziunii , fără ca toate punctele diviziunii să aparţină diviziunii .

De exemplu, are pasul şi are pasul , însă nu este mai fină decît (punctul al diviziunii nu este punct al diviziunii ).

Diviziunea formată din mulţimea

ale cărei elemente sunt luate în ordine strict crescătoare, se numeşte reuniunea diziunilor şi pe şi se notează .

Proprietăţile fundamentale ale integralei definite. În paragraful acesta se presupune existenţa tuturor integralelor definite ce intră formulele demonstrate.

Menţionăm următoarele proprietăţii ale integralei definite:

1. Dacă M este o constantă, atunci . Un factor constant poate fi scos în faţa integralei, adică . Într-adevăr, pentru orice diviziune a segmentului , şi orice alegere a punctelor intermediare , asociate diviziunii , avem , de unde

, ceea ce trebuie de demonstrat.

2. Dacă A este o constantă şi este integrabila pe , atunci de asemenea, este integrabilă pe acest segment şi

3. Dacă şi sunt integrabile pe , atunci este integrabilă pe acest segment şi şi .

4. integrala definită a unei sume algebrice de două funcţii este egală cu suma algebrică a integralelor definite ale acestor funcţii, adică

Într-adevăr, pentru orice diviziune a segmentului şi orice alegere a punctelor intermediare asociate acestei diviziuni avem

1.1.2. Metode de calcul integral.

Metoda compoziţiei. Dacă primitiva a funcţiei se află în tabelul de integrare, atunci la calculul integralei se aplică nemijlocit formula Newton – Leibniz

Teorema la o altă variabilă în integrala definită. Dacă este continuă pe , atunci are derivată continuă pe , este mulţimea valorilor funcţiei atunci

Formula dată se numeşte formula de trecere la o altă variabilă în integrala definită. Din ea rezultă că la calculul integralei definite prin metoda trecerii la o altă variabilă se schimbă limitele de integrare şi nu este necesar de a reveni la variabila iniţială.