Clase Uzuale de Modele

Aparatul matematic utilizat în cadrul modelării este deosebit de variat. Cel mai frecvent însă, în elaborarea deciziilor se folosesc metode ale programării matematice -domeniul care elaborează teoria şi metodele numerice de rezolvare a problemelor de extremum multidimensionale cu restricţii, adică a problemelor de extremum al funcţiilor de mai multe variabile cu restricţii în ceea ce priveşte domeniul de variaţie. Programarea matematică grupează o clasă foarte mare de probleme de optimizare care s-au dezvoltat de sine stătător şi apelează la metode specifice de rezolvare. Astfel, fără pretenţia de a cuprinde întregul domeniu, putem aminti: programarea liniară, programarea convexă, programarea neliniară, programarea dinamică, probleme de programare în reţea, programarea discretă, programarea stochastică etc. Între diferitele tipuri de probleme există strânse legături (de exemplu programarea liniară face parte din programarea convexă, care la rândul ei este o parte a programării neliniare etc.), programarea matematică începând să semene din ce în ce mai mult cu o teorie unitară a problemelor de extremum.

În continuare este prezentată succint problematica modelării economico-matematice pentru unele clase de modele mai uzuale:

1. Modele liniare – sunt caracterizate de faptul că relaţiile funcţionale care intervin sunt lineare. Pentru astfel de relaţii (funcţii), derivatele parţiale de ordinul doi sunt nule. În general deci, nici condiţiile de primul ordin, nici cele de ordinul doi întâlnite în problemele de extrem tratate de analiza matematică nu pot fi satisfăcute. S-au dezvoltat însă alte tehnici şi instrumente care permit rezolvarea problemelor de optimizare ce comportă relaţii funcţionale liniare. Algoritmii de rezolvare a problemelor de optimizare liniară au fost programaţi pe calculator, existând mai multe pachete de programe care permit obţinerea soluţiilor optime. Nu ne propunem prezentarea unor astfel de algoritmi. Pentru înţelegerea mecanismului lor, reamintim câteva noţiuni de algebră liniară. Mulţimea de vectori din Rⁿ, care verifică restricţiile constituie mulţimea punctelor realizabile. O mulţime de puncte din Rⁿ este convexă dacă punctele situate pe un segment de dreaptă având ca extremităţi două puncte dim mulţime, sunt conţinute în aceea mulţime. O ecuaţie liniară defineşte un hiperplan în Rⁿ. Un hiperplan este o dreaptă în R² , un plan în R³, o suprafaţă n-1 dimensională în Rⁿ. Dacă aіј=0 hiperplanul definit de ecuaţia respectivă este paralel cu axa zј. Dacă kі=0, Rⁿ are ca origine un punct din hiperplan. Hiperplanul definit de a i-a restricţie defineşte un semispaţiu închis pe Rⁿ, ale cărui puncte satisfac acea restricţie şi un semispaţiu deschis, ale cărui puncte nu satisfac restricţia. Semispaţiile sunt mulţimi convexe, iar semispaţiile închise sunt mulţimi convexe închise. Punctele care satisfac a j-a restricţie de nenegativitate sunt, de asemenea, un semispaţiu închis şi convex. Punctele care satisfac o restricţie constituie mulţimi convexe închise. O soluţie realizabilă a problemei trebuie să satisfacă cele m+n restricţii. Mulţimea de soluţii realizabile va fi deci o mulţime de puncte care aparţin fiecăreia din cele m+n mulţimi, adică intersecţiei lor. Intersecţia unui număr finit de mulţimi convexe închise este ea însăşi o mulţime convexă închisă. Restricţiile de nenegativitate limitează inferior valorile variabilelor. Prin urmare, mulţimea punctelor realizabile ale unui model liniar este totdeauna convexă, închisă şi mărginită inferior. Acest rezultat este deosebit de important deoarece sunt cunoscute proprietăţile unor astfel de mulţimi. După definirea mulţimii punctelor realizabile, se caută un punct al mulţimii care maximizează funcţia economică. Un punct extremal într-o mulţime convexă închisă este un punct de frontieră. Un hiperplan lateral unei mulţimi convexe închise este un hiperplan care conţine un punct de frontieră al mulţimii, iar mulţimea este conţinută în întregime într-un semispaţiu închis definit de hiperplan. Dacă ea se reduce la un punct, acel punct este optimal. Dacă sunt mai multe puncte, atunci se poate găsi unul care să fie optimal. O altă proprietate importantă a programării liniare este dualitatea. Oricărui model liniar i se poate ataşa un altul numit dual, după reguli precise. Există multe relaţii între modelul primal şi cel dual. Amintim aici numai pe cele esenţiate:

• Valoarea optimă a unei variabile din unul din modele este nulă dacă restricţia corespunzătoare din celălalt program este satisfăcută cu inegalitate strictă; ea este nenegativă dacă restricţia este satisfăcută cu egalitate.

• Dacă valoarea optimă a unei variabile dintr-un model este pozitivă, valoarea optimă a variabilelor din celălalt model satisface restricţia corespunzătoare cu egalitate.

• Valorile optime ale celor două funcţii coincid.