Extras din referat
Produsul de convoluţie a două semnale, şi , este o funcţie x(t) definită prin:
(3.57)
Convoluţia se mai notează sau .
Proprietăţile produsului de convoluţie
1. Comutativitatea:
(3.58)
2. Transformata Fourier a produsului de convoluţie:
(3.59)
Prin transformata Fourier produsul de convoluţie devine un produs algebric al caracteristicilor spectrale.
Pentru a demonstra relaţia (3.59), explicităm transformata Fourier a convoluţiei:
Făcând schimbarea de variabilă , relaţia de mai sus devine:
3. Convoluţia unui semnal x(t) cu distribuţia delta este egală cu semnalul x(t):
(3.60)
Proprietăţile de sondare în timp şi în frecvenţă ale distribuţiei (vezi relaţiile (3.32) şi (3.34)) conduc la relaţiile mai generale:
(3.61) ;
Deci convoluţia unei funcţii cu distribuţia este egală cu funcţia respectivă având argumentul distribuţiei .
4. Fiind date semnalele şi , avem:
(3.62) ,
unde:
Pentru a demonstra relaţia (3.62), se consideră:
. Şi cum:
, iar:
, atunci:
,
deci relaţia (3.62) este demonstrată. Această relaţie se generalizează în raport cu derivatele/integralele de ordin n:
5. Dacă se consideră şi , se obţine:
Deoarece şi (treaptă unitară), rezultă:
(3.63)
6. Convoluţia unui semnal x(t) cu treapta unitară u(t) se poate scrie sub forma , întrucât derivata treptei unitare este distribuţia . Având în vedere relaţia (3.60), rezultă , deci:
(3.64)
Aplicaţia 3.1:
Fie x(t) un semnal, reprezentat grafic în fig. 3.20. Se va ilustra în cele ce urmează construcţia convoluţiei semnalului x(t) cu treapta unitară, u(t), în conformitate cu relaţia:
Fig. 3.20 Semnalele u(t) şi x(t) pentru care se determină convoluţia
Preview document
Conținut arhivă zip
- Convolutia Semnelor.doc