Forma canonică Jordan

Introducere

Pentru aplicaţiile numerice,este util sa identificăm un sistem complet de reprezentanţi pentru această relaţie de echivalenţă: altfel spus, este util sa determinăm un anumit tip de matrice, cu proprietatea ca orice matrice pătratică este asemenea cu o unica matrice de tipul dat. Din considerente pe care le vom explica ulterior, vom studia această problematică doar pentru matrice definite peste corpul ₵ al numerelor complexe.Am văzut de asemenea ca orice matrice cu elemente numere complexe este asemenea cu o matrice inferior triunghiulară, care are pe diagonala valorile proprii ale matricei date: nu ar putea

fi oare acesta tipul de matrice căutat?

Matricele diagonale reprezintă un alt ”candidat” posibil. Acestea indeplinesc proprietatea de unicitate, deoarece două matrice diagonale sunt asemenea dacă si numai dacă au aceleaşi intrari pe diagonală (nu neaparat in aceeaşi ordine). Din păcate, nu orice matrice este asemenea cu o matrice diagonală.

Marie Ennemond Camille Jordan (1838 - 1922) a reuşit sa identifice o clasă de matrice ”aproape diagonale”, numite matrice Jordan, care indeplinesc proprietaţile dorite. Mai precis,orice matrice pătratică cu elemente din ₵ este asemenea cu o anumită matrice Jordan ¸si aceasta este, în mod esenţial, unic determinată. O matrice Jordan asemenea cu o matrice dată se numeşte forma canonică Jordan a matricei respective.

Ce este o matrice Jordan?

Dacă un operator liniar T are polinomul caracteristic p(λ)=(-1)n(λ-λ0)n,atunci există o bază B={u1…..un} în care matricea operatorului are forma A= .

Forma matricii poartă numele de celula Jordan de ordinal n, iar baza în care matricea operatorului are această formă se numeşte bază canonică Jordan.

Un operator a carui matrice este o celulă Jordan se numeşte operator unicelular.Orice operator liniar este suma directă de operatori unicelulari, deci matricea oricarui operator liniar poate fi redusă la forma canonică Jordan. O matrice J are forma canonică Jordan daca are pe diagonală celule Jordan, iar restul elementelor sunt nule A= , cu Jk,1≤k≤p celule Jordan de diferite ordine.Baza corespunzătoare se numeşte baza canonică Jordan.

TEOREMA: Fie V un spaţiu vectorial de dimensiune n si T : V →V. Atunci există o bază B în V astfel încât matricea lui T în această bază are forma Jordan.

Demonstraţie: Polinomul caracteristic al lui T este

p(λ)=(-1)n(λ-λ1)n1….( λ-λp)np, cu n1+…+np=n si λi≠λj,i≠j.

Ei = Ker (T - λi1V )ni , i = 1,….., p sunt subspatii invariante în raport cu T ale lui V=E1•…..•Ep.

Fie Ti restrictia lui T la Ei. Endomorfismul Si : Ei →Ei, definit prin Si = Ti - λi ∙ 1Ei este nilpotent, deoarece (x) = 0, oricare ar fii xϵEi. Exista o baza Bi a lui Ei astfel încât matricea asociata lui Si în baza Bi are forma

Deoarece V = E1 •…. • Ep, B = este o baza în V si matricea asociata lui T în baza B are forma Jordan.

Polinomul caracteristic asociat unui operator liniar nu depinde de bază B a spatiului vectorial. Rădăciniile polinomului caracteristic constituie valorile proprii ale operatorului T. Deci σ(T) contine cel mult n valori proprii distincte.

Teorema Hamilton-Cayaley

Fie T un operator liniar, fie p(λ) polinomul sacaracteristic si fie A matricea asociata operatorului T intr-o baza B={f1,…..fn}. Atunci p(A)=(0ij) ϵMn,n, p(T)=0ϵL(V).

Multiplicitatea geometrica este mai mica sau cel mult egala cu multiplicitatea algebrica.

Orice operator liniar cu spectru simplu este este de tip scalar.

Orice operator scalar este de tip scalar.

Daca un operator liniar T este de tip scalar, atunci matricea sa in baza formată din vectorii proprii are forma diagonală.De aceea un un operator de tip scalar se mai numește și operator diagonalizabil.

Un operator liniar T este diagonizabil dacă și numai dacă,pentru fiecare valoare proprie,multiplicitatea algebrică și cea geometrică coincid.

Dintre aplicațiile legate de cunoasterea valoriilor proprii si reducerea unui operator la forma canonică(diagonală sau Jordan) menținăm rezolvarea sistemelor de ecuații diferențiale și studiul oșcilaților unui sistem mecanic, studiul vibrațiilor libere neamortizate ale componentelor unui sistem,reducerea conicelor și coadricelor la forma canonică și studiul unor procese chimice.