Funcții biometrice - plăți viagere

Funct¸ii biometrice

Not¸iunea de asigurare de persoane prive¸ste modalitˇat¸ile de platˇa care au loc, nu ˆın

mod cert ci numai probabil, ˆın funct¸ie de realizarea unor evenimente legate de viata sau

de moartea persoanei asigurate. Fenomenele de viat¸ˇa ¸si de moarte li se pot asocia anumite

caracteristici prin care acestea se studiazˇa. Cea mai importantˇa caracteristicˇa este

mortalitatea. Intensitatea mortalitˇat¸ii se poate mˇasura prin anumit¸i coeficient¸i numerici.

Fiecare coeficient poate lua mai multe valori, variat¸ia sa prezentˆand un aspect funct¸ional:

ˆın general variabila independentˇa este vˆarsta, iar funct¸ia (variabila dependentˇa) este mortalitatea.

1. Probabilitˇat¸ile de viat¸ˇa ¸si de deces

Se considerˇa o colectiitate de aceea¸si vˆarstˇa - x ani. Se poate formula urmˇatoarea

ˆıntrebare: care este probabilitatea ca o persoanˇa ˆın vˆarstˇa de x ani sˇa fie ˆın viat¸ˇa la vˆarsta

de y ani, y  x. Rˇaspunsul la acestˇa ˆıntrebare este dat de probabilitatea de viat¸ˇa,notatˇa

prin simbolul p(x, y). Probabilitatea evenimentului contrar ca persoana ˆın vˆarstˇa de x ani

sˇa nu mai fie ˆın viat¸ˇa la y ani este probabilitatea de deces, notatˇa cu simbolul q(x, y). Are

loc relat¸ia corespunzˇatoare probabilitˇat¸ilor unor evenimente contrare:

p(x, y) + q(x, y) = 1.

In particular, dacˇa y = x + 1 vom scrie p(x, y) = px ¸si q(x, y) = qx, iar dacˇa y = x + n

vom scrie p(x, y) = npx ¸si q(x, y) = nqx.

2. Funct¸ia de suprafiet¸uire

Una dintre cele mai importante caracteristici utilizate ˆın teoria asidurˇarilor de persoane

este funct¸ia de supraviet¸uire. Aceasta este o funct¸ie de vˆarsta persoanei asigurate,

definitˇaca valoarea medie a numˇarului de persoane care ajung la vˆarsta de x ani dintr-un

numˇar de la persoane de a ani. Aici a  x. Pentru funct¸ia de supraviet¸uire se folose¸ste

simbolul lx. Notˆand cu z numˇarul persoanelor ˆın viat¸ˇa la x ani ¸si cu p(a, x) probabilitatea

ca o persoanˇa ˆın vˆarstˇa de a ani sˇa fie ˆın viat¸ˇa la vˆarsta de x ani se poate scrie urmˇatoarea

distribut¸ie de tip Bernoulli:

z :

"

z

Cz

la(p(a, x))la−z(q(a, x))z

#

, z = 0, la.

Valoarea medie a acestei distribut¸ii este produsul dintre probabilitatea de viat¸ˇa p(a, x) ¸si

numˇarul colectivitˇat¸ii la. Notˆand M(z) = lx, rezultˇa

lx = p(a, x) · la

de unde

p(a, x) =

lx

la

.

Evenimentul ca o persoanˇa ˆın vˆarstˇa de a ani sˇa fie ˆın viat¸ˇa la vˆarsta de y ani se poate

concepe ca intersect¸ia a douˇa evenimente dependente: primul, ca persoana ˆın vˆarstˇa de a

ani sˇa fie ˆın viat¸ˇa la x ani ¸si al doilea, ca persoana ˆın vˆarstˇa de a ani, care a ajuns la x ani,

sˇa fie ˆın viat¸ˇa vˆarstˇa de y ani. Atunci conform formulei pentru probabilitatea intersect¸iei

a douˇa evenimente se poate scrie:

p(a, y) = p(a, x) · p(x, y),

adicˇa

p(x, y) =

p(a, y)

p(a, x)

,

de unde

p(x, y) =

ly

lx

.

3. Viat¸a medie

Viat¸a medie, notatˇa cu simbolul ex, se define¸ste ca valoarea medie a numˇarului de ani

cˆat¸i mai are sˇa trˇaiascˇa o persoanˇa ˆın vˆarstˇa de x ani. Variabila aleatoare corespunzˇatoare

z are distribut¸ia:

z :

"

n + 1

2

n

n+1qx

#

, n = 0, 1, . . . .

unde n

n+1qx este probabilitatea ca persoana sˇa decedeze ˆıntre x+n ¸si x+n+1 ani, adicˇa:

n

n + 1

qx = p(x, x + n)qx+n =

lx+n

lx



1 −

lx+n+1

lx+n



=

lx+n − lx+n+1

lx

.

Prin urmare ex = M(z) are valoarea

ex =

X

n0



n +

1

2



lx+n − lx+n+1

lx

sau simplificˆand relat¸ia:

ex =

1

2

+

1

lx

X

n0

lx+n.

Observat¸ia 1. Se presupune cˇa decesul are loc ˆıntre x+n ¸si x+n+1 ani, la jumˇatatea

anului ¸si de aceea se considerˇa n + 1

2 ani cˆat¸i are de trˇait persoana ˆın vˆarstˇa de x ani.

Observat¸ia 2. Lipsa indicelui superior la semnul sumˇa aratˇa cˇa ˆınsumarea este limitatˇa

numai la acei indici ai elementelor contituitive pentru care vˆarsta x+n nu depˇa¸ste limita

de vˆarstˇa (practic 100 ani).