Locuri Geometrice Remarcabile

Capitolul 1

Cercul

1.1. Definiţia şi ecuaţii ale cercului

Considerăm xOy un reper cartezian în plan.

Definiţie. Fie M0(x0, y0) un punct fixat şi r un număr strict pozitiv fixat. Se numeşte cerc de centru M0 şi rază r locul geometric al punctelor M(x, y) din plan cu proprietatea d(M0, M) = r (fig. I.16). Notăm cu C acest cerc.

Pentru a evita folosirea radicalilor, utilizăm (de ce?): (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2. Această relaţie în R2 se numeşte ecuaţie carteziană implicită a cercului C de centru M0(x0, y0) şi rază r. Deci C = {M(x, y) | (x, y) R2 , (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2} sau pe scurt C: (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2. Această ecuaţie este echivalentă cu două ecuaţii parametrice,

x = x0 + r cost

y = y0 + r sint, t Є [0, 2π), t = parametru.

Exemplu. Cercul cu centrul în M0(2, -3) şi rază r = 7 are ecuaţia carteziană (x - 2)2 + (y + 3)2 = 49 şi ecuaţiile parametrice x = 2 + 7 cost, y = -3 + 7 sint, t Є [0, 2π).

1.2. Intersecţia dintre o dreaptă şi un cerc.

Ecuaţiile tangentei şi normalei.

Fie dreapta h: αx + βy + γ = 0 şi cercul C: (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2, de centru M0(x0, y0) şi rază r. Intersecţia h∩C este caracterizată de soluţiile în R2 ale sistemului format din cele două ecuaţii.

Folosim distanţa de la centrul M0 la dreapta h:

d(M0; h) =

Dacă d(M0; h) < r, atunci h şi C au exact două puncte comune (h este secantă), dacă d(M0; h) = r, atunci h şi C au exact un punct comun (h este tangentă), iar dacă d(M0; h) > r, atunci h şi C nu au puncte comune (h este exterioară cercului C).

Exemplu. Dreapta h: x + y – 1 = 0 este tangentă cercului C: x2 + (y – 2)2 = deoarece d(M0(0, 2); h) = = = r.

Fie cercul C: (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2 şi punctul M1(x1, y1) C. Dreapta determinată de punctul M1 şi de vectorul normal = (x1 – x0) + (y1 – y0) este tangentă la cercul C în punctul M1 (fig. I.17).

Ecuaţia tangentei la cerc, în punctul M1, este (x1 – x0) (x – x1) + (y1 – y0) (y – y1) = 0 sau echivalent (x1 – x0) (x – x1) + (y1 – y0) (y – y1) = r2 (dedublata ecuaţiei cercului în punctul M1(x1, y1)). Dreapta determinată de punctul M1 şi de vectorul director , adică normala la cerc în M1 (fig. I.17) are ecuaţia =

1.3. Puterea unui punct faţă de un cerc.

Intersecţia a două cercuri

Definiţie. Fie cercul C: x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 şi un punct M1(x1, y1). Numărul p(M1, C) = x12 + y12 + 2ax1 + 2by1 + c se numeşte puterea punctului M1 faţă de cercul C. Dacă C: (x – x0)2 + (y – y0)2 = r2, atunci p(M1, C) = (x1– x0)2 + (y1– y0)2 – r2 = d2(M0, M1) – r2, unde M0(x0, y0) este centrul cercului.

Se observă că avem: p(M1, C) < 0 daca M1 este în interiorul cercului ; p(M1, C) = 0 daca M1 este pe cerc şi p(M1, C) > 0 daca M1 este în exteriorul cercului.