Matricea magică

PATRAT MAGIC - MATRICE MAGICA

În matematică, un pătrat magic de ordinul n este o aranjare de n² numere într-un pătrat, în aşa fel încât toate numerele n din aceeaşi coloană, rând sau diagonală să dea adunate aceeaşi constantă. Un pătrat magic normal conţine întregii de la 1 la n².

Pătrate magice exista pentru toate ordinele n ≥ 1 în afară de n = 2, deşi cazul de ordine n = 1 este trivial - Consistă dintr-o singură celulă conţinând numărul 1. Cel mai mic caz nontrivial, arătat dedesubt, este de ordinul 3.

INTRODUCERE

Să considerăm succesiuna aritmerică 1, 2, 3, 4, 36 (pătrat de ordinea 6) şi să dispunem numerele în două rânduri in zig-zag:

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

36 35 34 33 32 31 30 29 28 27 26 25 24 23 22 21 20 19

Aceasta rezultă în faptul că orice pereche de numere aliniate vertical da aceeaşi suma, ştiind că cu cât ne-am deplasat înainte în coloane, cu atât numerele de sus cresc cu o unitate, pe când cele de jos scad. Suma în toate cazurile este aceea a extremelor:

n2 + 1 = 36 + 1 = 37

Dacă aranjăm ansamblul numerelor în şase randuri:

1 2 3 4 5 6

12 11 10 9 8 7

13 14 15 16 17 18

24 23 22 21 20 19

25 26 27 28 29 30

36 35 34 33 32 31

Cum se poate vedea, suma în diferitele coloane este necesar egală, fiind că numerele sunt grupate în perechi ca şi în primul caz (se pot compara perechile de rânduri 1ª-6ª, 2ª-5ª şi 3ª-4ª cu dispunerea originală). Acum oarecum, cele trei perechi de coloane fiind (n/2), suma va fi:

ceea ce se numeşte constanta magică, care în cazul nostru este de n×(n² + 1)/2 = 6×(36 + 1)/2 = 111.

Ordinea n 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

M 2(n) 15 34 65 111 175 260 369 505 671 870 1105

Sare în ochi ca pătratul precedent nu este un pătrat magic, pentru că aranjând numerele de manieră consecutivă, sumele cifrelor din fiecare rând cresc de fiecare dată. Oricum am găsit şase serii de numere între 1 şi 36, a căror sumă, fară să se repete niciunul, este constanta magică. Dacă în loc de dispunerea precedentă plasăm numerele în ordine consecutivă, obţinem o dispunere în care numerele din diagonala principala pot fi scrise sub forma (a-1)×n + a.

1 2 3 4 5 6

7 8 9 10 11 12

13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24

25 26 27 28 29 30

31 32 33 34 35 36

Calculând suma, ştim că rândurile a merg de la 1 la n:

Orice serie de şase valori în care nu sunt două din acelaşi rând sau din aceeaşi coloană se va aduna să formeze constanta magică. Scriind termenul i, j al matricei ca (i-1)×n + j şi luând şase termeni oarecare ci condiţia ca nici i, nici j să se repete, şi să varieze de la 1 la n, ecuaţia rezultând este aceeaşi ca şi în cazul anterior şi suma, în consecinţă, constanta magică.

Cum se şi poate demonstra, cantiatea de serii posibile de n numere care îndeplinesc condiţia anterioară este n !, 720 în pătrate de ordinea 6, şi nici chiar toate sunt posibile, fiind dat că am obţinut şase care nu sunt incluse printre ele. Prin definiţie, fiind posibil să se construiască (n²) ! matrice în care nici un termen să nu se repete şi în care să existe cel puţin n ! (de fapt mult mai multe) combinaţii de numere care se adună să formeze constanta magică, se înţelege intuitiv că ce ar fi magic despre pătrat este că cu atâtea posibilităţi era imposibil să construiască un pătrat magic.

De ordinea 3 există doar un pătrat magic (variaţiile diferite se pot obţine prin rotaţie sau oglindire), în 1693 Bernard Frenicle de Bessy a stabilit că există 880 pătrate magice de ordinea 4 [1], posterior se gasiseră 275.305.334 pătrate magice de ordinea 5; numarul de pătrate magice de o ordine mai mare este necunoscut, dar după estimaţiile lui Klaus Pinn şi ale lui C. Wieczerkowski realizate în 1998 cu ajutorul metodelor lui Monte Carlo şi ale mecanicii statistice există (1,7745 ± 0,0016) × 1019 pătrate de ordinea 6 şi (3,7982 ± 0,0004) × 1034 de ordinea 7.

În ceea ce priveşte ordinele inferioare, este evident că de ordinul unu există numai un pătrat magic, 1 , iar de ordinul 2 nu există niciunul, ceea ce poate fi demonstrat în figura pătratului magic a, b, c, d; pentru ca această dispoziţie să fie un pătrat magic ar fi trebuit să se îndeplinească urmatoarele ecuaţii (M fiind constanta magică sau orice altă cantitate, dacă este dorită):

a b

c d

a + b = M

a + c = M

a + d = M

b + c = M

b + d = M

c + d = M

scriind sistemul de ecuaţii de manieră matricială şi căutând ordinul matricei de coeficienţi, se obţine că este trei, pe când numărul de necunosute este patru, de aşa fel încât sistemul să aibă doar soluţia trivială a = b = c = d = M/2, fiind imposibil să se construiască un pătrat magic în care cele patru cifre să fie distincte.