Phi și phi- proporția divină

Despre numãrul de aur (Phi si phi)

Sã începem cu o problemã de esteticã. Sã considerãm un segment de dreaptã. Care este cea mai „plãcutã” împãrtire a acestui segment în douã pãrti ? Unii ar spune cã în douã jumãtãti, altii ar spune cã în proportie de 3:1

Grecii antici au gãsit un rãspuns pe care ei îl considerau corect (teoreticienii îl numesc „simetrie dinamicã”). Dacã pãrtii stângi a segmentului îi atribuim lungimea u=1, atunci partea dreaptã va avea o lungime v=0,618… Despre un segment partitionat astfel spunem cã este împãrtit în Sectiunea (sau Proportia, Diviziunea) de aur (divinã).

Care este justificatia pentru înzestrarea acestei proportii particulare cu un asemenea statut aparte ? Ideea este cã lungimea u reprezintã aceeasi parte din tot segmentul (u+v) cât reprezintã lungimea v din partea u. Cu alte cuvinte :

Dacã notãm Ф=u/v, vom rezolva ecuatia pentru Ф, observând cã :

Rãdãcina pozitivã a ecuatiei, care se poate scrie

Ф2 - Ф – 1 = 0

este :

o constantã care este numitã Numãrul de aur sau Proportia divinã.

Dacã presupunem u=1, atunci

, cum am presupus mai devreme. Notãm numãrul v = 0.6180339887… = Ф (phi).

Numãrul de aur si Fibonacci

Afirmãm cã numãrul nostru Phi este strâns legat de sirul lui Fibonacci. Pentru cei care nu stiu, sirul lui Fibonacci este definit prin :

f0=0; f1=1; fn= f0+ f1 (oricare n32).

Acest sir exprimã (într-un mod naiv) cresterea populatiei de iepuri. Se presupune cã iepurii au câte doi pui o datã la fiecare lunã dupã ce împlinesc vârsta de douã luni. De asemenea, puii nu mor niciodatã si sunt unul de sex masculin si unul de sex feminin.

În felul acesta, numãrul de perechi de iepuri existente dupã n luni ar trebui sã fie f¬¬n. Vã puneti întrebarea ce poate avea în comun Ф cu sirul lui Fibonacci ? Aceasta este o idee remarcabilã a matematicii. Pentru început sã observãm cã :

este o fractie infinitã.

Acum sã privim fractiile partiale :

Toate rezultatele fractiilor sunt rapoarte de numere Fibonacci succesive, fapt ce „motiveazã” teorema ce spune cã :

În cuvinte putem spune cã, pe mãsurã ce n se apropie de infinit, raportul termenilor al n+1-lea si al n-lea din sirul lui Fibonacci se apropie de Ф. Aceastã teoremã este valabilã pentru orice secventã arbitrarã ce satisface recurenta :

fn= f0+ f1 (oricare n32), cu proprietatea cã primii doi termeni sunt diferiti.

Reprezentare graficã – dreptunghiuri de aur

Legãtura geometricã dintre numãrul Phi si numerele lui Fibonacci poate fi vãzutã in graficul din anexa 1. Pornind de la un dreptunghi de aur (de lungime Ф si lãtime 1), urmeazã un sir natural de „cuibãriri” ale dreptunghiurilor divine în cel initial.

Lungimea si lãtimea celui de-al n-lea dreptunghi de aur pot fi scrise ca expresii liniare, unde coeficientii sunt întotdeauna numere Fibonacci. Aceste dreptunghiuri pot fi înscrise într-o spiralã logaritmicã, asa cum aratã imaginea. Sã presupunem cã punctul din coltul din stânga jos al primului dreptunghi este originea unui sistem rectangular de coordonate. Apare acum întrebarea : unde se aflã punctul spre care tinde spirala?

Rãspunsul este : spirala tinde spre punctul de coordonate