Regresie liniară

Unul din principalele capitole ale statisticii are în vedere posibilitatea de a face predictii. Desi nu se gasesc relatii perfecte în lumea reala, prin intermediul regresiei se pot face predictii ale unei variabile, în functie de valoarea alteia. Predictia este procesul de estimare a valorii unei variabile cunoscând valoarea unei alte variabile.

În continuare, ne vom referi doar la situatia regresiei simple (o variabila dependenta si una independenta) si liniare (relatia dintre cele doua variabile poate fi descrisa printr-o dreapta în cadrul norului de puncte).

Regresia se leaga foarte mult de conceptul de corelatie. O asociere puternica între doua elemente conduce la cresterea preciziei predictiei unei variabile pe seama alteia. Daca am avea o corelatie perfecta (+1 sau –1) estimarea ar fi extrem de precisa.

Pentru a întelege mai bine regresia, vom oferi un exemplu: sa presupunem ca între deficitul de atentie si tulburarile emotionale s-a obtinut un coeficient de corelatie r = 0,80 pe un lot de 50 de subiecti. Regresia ne da posibilitatea sa estimam ce tulburari emotionale are un subiect daca cunoastem în prealabil nivelul deficitului de atentie si tipul de relatie dintre cele doua variabile.

Procesul de regresie presupune doi pasi. Primul se refera la determinarea ecuatiei de regresie, iar cel de-al doilea consta în utilizarea acestei ecuatii în a predictie.

Forma generala prin care se exprima o ecuatie de regresie este:

Unde: Y prim este rezultatul estimat;

a este interceptul (locul pe ordonata unde dreapta de regresie se intersecteaza cu OY, valoarea lui Y pentru X=0);

b este panta de regresie (ne arata cu cât se modifica Y atunci când X creste (scade) cu o unitate;

X este variabila criteriu (cunoscuta).

Calcularea coeficientilor de regresie a, respectiv b conduce la realizarea primului pas din procesul regresiei.

Exista doua posibilitati de calculare a lor:

a. daca se cunoaste valoarea coeficientului de corelatie dintre cele doua variabile X si Y, media si abaterea standard a celor doua variabile putem aplica urmatoarele formule:

Unde: r este valoarea coeficientului de corelatie dintre X si Y;

Sy este abaterea standard a variabilei Y;

Sx este abaterea standard a variabilei X.

Unde: My este media variabilei Y;

Mx este media variabilei X.

În exemplul nostru, sa presupunem ca media variabilei X (deficitul de atentie) a fost 20, iar abaterea standard 5. În acelasi timp, media variabilei Y (tulburari emotionale) a fost 16, iar batarea standard 4. Vom calcula în continuare coeficientii ecuatiei e regresie liniara a si b.

Ecuatia de regresie pentru aceasta problema este:

Interpretarea acestor valori reprezinta al doilea pas din procesul de regresie, cu ajutorul caruia putem estima valoarea lui Y pornind de la orice valoare a lui X.

Coeficientul a ne arata care este valoarea lui Y când X este zero. În schimb, coeficientul b (panta de regresie) ne arata cu cât este influentat Y atunci când X creste cu o unitate.

În problema de fata vom calcula în continuare valorile estimate ale lui Y pentru X =0, 1 si 2.