Repartiții Clasice ale Variabilelor Aleatoare

Una din noțiunile fundamentale ale teoriei probabilităților este cea de variabilă aleatoare. Aceasta joacă un rol similar în teoria probabilităților ca și variabila din cadrul analizei matematice sau din altă parte a matematicii. Variabila aleatoare este o mărime care „poate lua valori dintr-o anumită mulțime nu în mod cert ci numai cu o anumită probabilitate. Pentru variabila aleatoare se utilizează de obicei ca notație literele mari latine sau pot fi utilizate și literele grecești η, ξ, ...” .

Se consideră un câmp de probabilitate (Ω, K, P). Se numește variabilă aleatoare reală orice aplicație X : Ω → R care asociază fiecărui element ω un număr real X (ω), cu ω X (ω), astfel încât X (-∞, x) ϵ K, x ϵ R. S-a notat cu X (-∞, x) evenimentul identificat cu mulțimea elementelor ω ϵ Ω astfel încât X (ω) < x, adică

X (-∞, x) = {ω | ω ϵ Ω, X (ω) < x}.

După proprietățile mulțimii valorilor variabilei aleatoare, variabilele aleatoare se clasifică astfel:

- variabile aleatoare de tip discret, adică acele variabile pentru care mulțimea valorilor este o mulțime finită sau numărabilă de forma

M = { x | x ϵ R } , I N.

- variabile aleatoare de tip continuu, adică acele variabile a cărei codomeniu M este un interval M = [a,b] R închis sau nu.

Exemple de variabile aleatoare discrete :

- variabila aleatoare ale cărei valori reprezintă numărul de apeluri zilnice primite la o centrală telefonică;

- variabila aleatoare ale cărei valori reprezintă numărul de puncte apărute pe o față a zarului, la aruncarea unui zar.

Exemple de variabile aleatoare de tip continuu:

- timpul de funcționare al unui aparat, până la prima defectare;

- viteza unei particule care se modifică în funcție de ciocnirile cu alte particule.

Studiul variabilelor aleatoare se poate considera și prin intermediul unei noi funcții asociate variabilei aleatoare. Această funcție numită uneori funcție cumulativă a probabilităților are o serie de proprietăți foarte ușor de exploatat, mai ales când e vorba de a evalua probabilitățile unor evenimente construite cu variabile aleatoare .

Se numește funcție de repartiție asociată lui X și se notează cu F :R → [0,1], funcția care asociază x F (x), definită prin F(x) = P ({X < x}).

Variabilele aleatoare de tip discret și de tip continuu mai sunt cunoscute și sub denumirea de repartiții clasice. Repartițiile clasice de tip discret se impart la rândul lor în discrete simple (pot lua un număr de valori finit) și discrete numărabile (pot lua un număr de valori infinit).

Cele mai cunoscute repartiții clasice de tip discret sunt: repartiția hipergeometrică, repartiția binomială, repartiția Poisson și repartiția geometrică.