Reprezentarea Grafică a Funcțiilor pe PC

1. Consideraţii teoretice

În proiectarea unui program de trasare automată a graficului unei funcţii va trebui să se ţină seama de o serie de corecţii necesare datorită particularităţilor grafice ale sistemului de calcul. În continuare sunt prezentate astfel de corecţii specifice sistemelor PC.

a) Operatorul (r-)

Definiţii

Numim spaţiu logic (spaţiu analitic sau spaţiu matematic) ansamblul punctelor situate în planul real împreună cu proprietăţile lor matematice.

Numim spaţiu grafic (spaţiu de afişare sau spaţiu ecran) ansamblul punctelor ce poziţionează pixelii unui dispozitiv de afişare (display).

Noţiuni

Se ştie că pe ecranul PC ordonata grafică (ordonata relativă la fereastra de afişare a sistemului) creşte de sus în jos. Altfel spus, valorile mici ale ordonatei vor poziţiona cursorul grafic în zona superioară de ecran. Nu acelaşi lucru, însă, se întâmplă cu abscisa grafică. Astfel, originea ecranului grafic PC (punctul de coordonate (0,0)) se află în colţul stânga-sus al display-ului. În consecinţă, este necesar ca în conceperea programelor grafice să se ţină cont de această caracteristică.

O modalitate de facilitare a scrierii programelor grafice pentru PC (şi totodată de urmărire a unui program deja scris) o constituie utilizarea operatorului (r-). Efectul acestui operator asupra unui operand numeric real, este:

Cel mai simplu mod de a explica efectul acestui operator este exemplul. De aceea, să presupunem că dorim să definim o fereastră grafică de la colţul stânga-sus de coordonate (0,0) (originea ecranului grafic) până la colţul dreapta-jos de coordonate (300,400). Dacă dorim să desenăm în această fereastră un punct poziţionat la abscisa logică 100 şi ordonata logică 150, folosind funcţia putpixel de sub un mediu C, putem realiza apelul: putpixel(100,r-150), după ce în prealabil am definit o variabilă reală r iniţializată cu valoarea 400 (ordonata grafică de valoare maximă). Observăm că un mod alternativ de desenare a punctului specificat este: putpixel(100,250). În acest din urmă caz s-au utilizat coordonatele grafice ale punctului. După cum se vede, deşi abscisa grafică va coincide întotdeauna ca valoare cu abscisa logică, ordonata grafică va fi, în general, de valoare diferită faţă de ordonata logică. Deoarece cele două apeluri ale funcţiei grafice putpixel sunt echivalente, rămâne de stabilit care dintre forme este de preferat în cazurile practice. Cea de-a doua formă de apel pare mai simplă, însă ea necesită cunoaşterea ordonatei grafice deşi în mod practic se utilizează de regulă ordonata logică. Din acest motiv, prima formă este preferată, cel puţin în aplicaţiile de grafică matematică.

Variabila r va fi numită parametru operatorial şi va lua valori reale indicând valoarea maximă a ordonatei grafice.

Cu noţiunile introduse mai sus, se poate urmări extrem de clar efectul operatorului (r-). Astfel, dacă ordonata logică creşte de la valoarea 100 la valoarea 330, variaţia ei este 1=330-100=230. Trecând în domeniul grafic prin aplicarea operatorului (r-) asupra variaţiei 1, obţinem:

2=(r-)1=(r-)(330-100)=(r-)330-r(-)100=(r-330)-(r-100)=-230=-1

Se constată astfel că semnul variaţiei se inversează, ceea ce se dorea în fapt.

Observaţie

În parcurgerea exemplului de mai sus s-a considerat în mod tacit că operatorul notat (r-) se bucură de o serie de proprietăţi matematice. Fără a face o analiză a acestor proprietăţi, menţionăm că operatorul (r-) poate fi considerat un operator liniar.

b) Raportarea coordonatelor la o origine relativă

Dacă înainte de a trasa graficul corespunzător unei funcţii date se trasează un sistem cartezian ortogonal de axe, cu originea poziţionată în (x0,y0), este util ca la acest punct să se facă în continuare toate raportările ulterioare ale valorilor funcţiei. Deoarece punctul (x0,y0) aparţine spaţiului grafic în timp ce valorile funcţiei aparţin spaţiului logic, va trebui realizată o transformare liniară între cele două spaţii. În acest scop se utilizează următorul set de relaţii:

unde (x,y) sunt punctele definite de funcţie în spaţiul logic iar (xx,yy) reprezintă punctele materializate prin pixeli la nivelul suprafeţei de afişare a display-ului.

Exemplu

Dacă cele două axe ale sistemului de referinţă se intersectează în punctul grafic (150,200), setul de relaţii (1) devine:

c) Axarea pe verticală

Cel mai adesea, intervalul logic de valori definit pentru funcţia f(x) ce urmează a se reprezenta grafic nu corespunde cu intervalul grafic de valori raportat la sistemul de axe definit. Pentru a realiza o corespondenţă între cele două spaţii va fi necesar să se opereze o axare pe verticală, de forma: