Ridicarea la putere a unei matrici de ordinul n

1. Forma diagonală

Deoarece matricea oricărui endomorfism A : Vn → Vn depinde de alegerea bazei în Vn, prezintă interes cazul când se poate găsi o bază Vn faţă de care matricea endomorfismului să aibă o formă cât mai simplă.

Definiţia 1. Un endomorfism A : Vn → Vn se numeşte diagonalizabil, dacă există o bază {e1, . . . , en} astfel încât matricea lui în această bază să fie diagonală.

Matricea din clasa de asemănare care îi corespunde endomorfismului A se numesc matrice diagonalizabile.

Teorema 1. Un endomorfism A : Vn → Vn este diagonalizabil dacă şi numai dacă există o bază a spaţiului Vn formată din vectorii proprii ai endomorfismului.

Demonstraţie. Dacă A este diagonalizabil, atunci există o bază {e1, . . . , en} a spaţiului faţă de care matricea lui este diagonală:

A =

Deci Aei= aiiei, i = 1,2,...,n, ceea ce înseamnă că vectorii ei, i = 1,2,..., n sunt vectori proprii ai endomorfismului A.

Reciproc, dacă {v1, . . . , v n} este o bază în Vn, formată din vectorii proprii ai lui A , adică Aλi= aiiv i, i = 1,2,..., n, atunci matricea lui A în această bază este

D =

Evident unele din numerele λi pot fi egale.

Teorema 2. Dimensiunea unui subspaţiu propriu al endomorfismului A : Vn → Vn este cel mult egală cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii corespunzătoare subspaţiului.

Demonstraţie Fie λ0 o valoare proprie multiplă de ordinul m, şi S(λ0) subspaţiul propriu corespunzător. Notăm dim S(λ0) = p < n. Fie {e1, . . . , en} S(λ0) o bază în subspaţiul propriu.

Completăm această bază până la o bază în Vn de forma {e1, . . . , ep, fp+1,. . ., fn}. Întrucât vectorii ei, i = 1,..., p, sunt vectorii proprii corespunzători la valoarea proprie λ0, avem

A (ei) = λ0ei, i = 1,. . . , p şi A (fi) = , j = p+1, . . . ,n. Matricea lui A în această bază este

A =

aşa încât polinomul caracteristic al lui A are forma , unde este un determinant de ordinul .

În concluzie, = 0, implică p < m, iar ≠ 0 implică p = m. Deci p ≤ m.

Teorema 3. Un endomorfism A : Vn → Vn este diagonalizabil dacă şi numai dacă polinomul caracteristic are toate rădăcinile în câmpul peste care este luat Vn şi dimensiunea fiecărui subspaţiu propriu este egală cu ordinul de multiplicitate al valorii proprii corespunzătoare.

Demonstraţie. Admitem că A : Vn → Vn este diagonalizabil.

Rezultă că există o bază {e1, . . . , en} în Vn formată din vectori proprii pentru A faţă de care matricea lui A este diagonală. Fie , adică , i =1,...,p sunt valori proprii ale lui A de multiplicităţi cu . Fără a afecta generalitatea, putem admite că primii vectori din baza {e1, . . . , en} corespund lui , următorii lui etc. În conclzie, vectorii { , . . . , } S(λ1) aparţin subspaţiului propriu corespunzător valorii proprii λ1 ceea ce înseamnă că numărul lor este mai mic sau cel mult egal cu dim S(λ1): ≤ dim S(λ1). Pe de altă parte, conform teoremei 2, avem dimS(λ1) ≤ . În concluzie dimS(λ1) = . Analog rezultă dimS(λi) = , i = 1, 2, . . , p. Atunci fie B = { , .. , , , .. , . . , , .. , }, o mulţime e vectori din Vn aşa încât primii să constituie o bază în S(λ1), următorii să constituie o bază în S(λ2) şi aşa mai departe. Utilizând inducţia asupra lui p se dovedeşte că B este o bază a lui Vn . Faţă de această bază, matricea lui A : Vn → Vn este:

adică o matrice diagonală.