Serii de puteri în mulțimea numerelor complexe

1 Serii numerice

1.1 Notiuni introductive

In domeniul matematicii, o serie se poate deni, aproximativ, ca ind o adaugare

innita de elemente, unul dupa celalalt, in ordine, la o cantitate de elemente deja

existente folosite pentru a sti punctul de la care pornestel seria. De cele mai multe

ori este nevoie de cunoasterea primilor doi termeni pentru a putea continua seria

spre innit.

Studierea seriilor este o parte majora si extrem de importanta din analiza

matematica si mai exact in generalizarile si calculele necesare acestei sectiuni a

matematicii. In afara de importanta majora din mediul analizei matematice, seri-

ile se folosesc si in majoritatea celorlalte domenii ale matematicii, precum studierea

structurilor nite (de exemplu: in combinatie) prin conceperea de functii cu aju-

torul seriilor nite.

Seriile innite, avand o gama mult mai larga de deschidere, pot folosite

si in alte domenii cantitative, inafara matematicii, cum ar zica, informatica,

statistica si nante.[6]

In istorie, in momentul aparitiei ideii de serie, aceasta a fost considerata un

paradox deoarece nu putea exista o multime insumata de elemente potential in-

nite care au un rezultat nit. Totusi, acestui paradox i sa gasit o rezolvare in

secolul XIX prin problema paradoxala a lui Zeno (paradoxul lui Ahile si a testoa-

sei) folosindu-se de conceptul de limita. Acest paradox ilustreaza proprietatea

contraintuitiva a unor sume innite: Achile alearga dupa o broasca testoasa, dar

cand ajunge la pozitia broastei testoase, aceasta se a

a la alta pozitie; acest eveni-

ment se intinde la innit si dupa cum a subliniat si Zano in paradoxul lui; Ahile

nu ar ajunge niciodata la broasca testoasa.

In concluzie, acest paradox demontreaza ca desi seria are un numar innit de

termeni are si o suma nita ceea ce ofera timpul necesar pentru ca Ahile sa prinda

broasca testoasa.

Astfel, ca o denitie generala a seriilor, consideram un numar apartinand

multimii numerelor naturale si sirul numeric (f ), putem deduce cu usurinta ca

perechea (f ) si (s ) pot forma o serie numerica doar in momentul in care s este

egal cu suna tuturor sirurilor numerice (s = f1 + f2 +


+ f , unde s este

considerata ca ind suma partiala de ordin a seriei). [2]

Deci, printr-o notatie corespunzatoare, seria ((f ); (s )) poate avea una dintre

urmatoarele 3 forme:

P1

=1 f ;

P

ț1 f sau

P

f , unde f ( 2 N) reprezinta

termenii seriei respective. In plus, daca sirul (s ) are limita si aceasta este egala

cu s, atunci, cel din urma se numeste suma seriei si se noteaza in felul urmator:

s =

P1

=1 f .

Daca suma seriei este un numar nit (apartine multimii numerelor reale), atunci

3

seria

P1

=1 f se numeste serie convergenta. In caz contrar, cand seria nu are limita

sau limita este innita, spunem ca aceasta este o serie divergenta.

In urma celor enuntate mai sus se identica urmatoarele observatii:

ț Daca unei serii ii sunt eliminate un numar nit de elemente, atunci natura

acelei serii

P

f nu se schimba.

ț Notiunile serie", suma seriei" si convergenta unei serii" se pot deni si

in alte spatii cum ar : spatiul liniar normat (A; jj ț jj) sau spatiu liniar

topologic (A;  ).

ț In multimea

P

a seriilor avem denite operatiile de adunare (

P

f +

P

P g =

(f + g ) si de inmultire a seriilor cu un scalar ((

P

f ) =

P

f ) unde

scalarul  2 <.

Din observatia c) resulta faprul ca, printr-o vericare rapida si imediata, mul-

timea

P

a seriilor convergente in < poate forma un spatiu liniar real.

ț Orice serie

P

=1 f este convergenta daca si numai daca toate seriile

P

= +1 f

sunt convergente pentru orice ; 2N.

ț In momentul in care o serie

P

f este convergenta, atunci inseamna ca sirul

sumelor partiale (s ) este marginit. In caz contrar sirul este nemarginit.

Seria r = f +1+f +2+: : : , este restul de ordin al seriei initiale

P

f . Prin

urmare, daca seria

P

f este convergenta, atunci s = s + r ; de aici se deduce

faptul ca restul este, de fapt, diferenta dintre suma s si suma partiala de ordin

.[4]