Serii de puteri în mulțimea numerelor complexe

Referat
8/10 (1 vot)
Domeniu: Matematică
Conține 1 fișier: pdf
Pagini : 16 în total
Cuvinte : 3029
Mărime: 1.58MB (arhivat)
Cost: 4 puncte
Profesor îndrumător / Prezentat Profesorului: Ciobanu Dragos

Cuprins

1 Serii numerice 3

1.1 Notiuni introductive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

1.2 Serii cu termeni pozitivi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Serii cu termeni oarecare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2 Produse in nite 8

2.1 Notiuni de baza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.2 Legatura cu seriile numerice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.3 Exemple de exercitii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

3 Exercitii in Wolfram Mathematica 11

Extras din document

1 Serii numerice

1.1 Notiuni introductive

In domeniul matematicii, o serie se poate de ni, aproximativ, ca ind o adaugare

in nita de elemente, unul dupa celalalt, in ordine, la o cantitate de elemente deja

existente folosite pentru a sti punctul de la care pornestel seria. De cele mai multe

ori este nevoie de cunoasterea primilor doi termeni pentru a putea continua seria

spre in nit.

Studierea seriilor este o parte majora si extrem de importanta din analiza

matematica si mai exact in generalizarile si calculele necesare acestei sectiuni a

matematicii. In afara de importanta majora din mediul analizei matematice, seri-

ile se folosesc si in majoritatea celorlalte domenii ale matematicii, precum studierea

structurilor nite (de exemplu: in combinatie) prin conceperea de functii cu aju-

torul seriilor nite.

Seriile in nite, avand o gama mult mai larga de deschidere, pot folosite

si in alte domenii cantitative, inafara matematicii, cum ar zica, informatica,

statistica si nante.[6]

In istorie, in momentul aparitiei ideii de serie, aceasta a fost considerata un

paradox deoarece nu putea exista o multime insumata de elemente potential in-

nite care au un rezultat nit. Totusi, acestui paradox i sa gasit o rezolvare in

secolul XIX prin problema paradoxala a lui Zeno (paradoxul lui Ahile si a testoa-

sei) folosindu-se de conceptul de limita. Acest paradox ilustreaza proprietatea

contraintuitiva a unor sume in nite: Achile alearga dupa o broasca testoasa, dar

cand ajunge la pozitia broastei testoase, aceasta se a

a la alta pozitie; acest eveni-

ment se intinde la in nit si dupa cum a subliniat si Zano in paradoxul lui; Ahile

nu ar ajunge niciodata la broasca testoasa.

In concluzie, acest paradox demontreaza ca desi seria are un numar in nit de

termeni are si o suma nita ceea ce ofera timpul necesar pentru ca Ahile sa prinda

broasca testoasa.

Astfel, ca o de nitie generala a seriilor, consideram un numar apartinand

multimii numerelor naturale si sirul numeric (f ), putem deduce cu usurinta ca

perechea (f ) si (s ) pot forma o serie numerica doar in momentul in care s este

egal cu suna tuturor sirurilor numerice (s = f1 + f2 +    + f , unde s este

considerata ca ind suma partiala de ordin a seriei). [2]

Deci, printr-o notatie corespunzatoare, seria ((f ); (s )) poate avea una dintre

urmatoarele 3 forme:

P1

=1 f ;

P

ț1 f sau

P

f , unde f ( 2 N) reprezinta

termenii seriei respective. In plus, daca sirul (s ) are limita si aceasta este egala

cu s, atunci, cel din urma se numeste suma seriei si se noteaza in felul urmator:

s =

P1

=1 f .

Daca suma seriei este un numar nit (apartine multimii numerelor reale), atunci

3

seria

P1

=1 f se numeste serie convergenta. In caz contrar, cand seria nu are limita

sau limita este in nita, spunem ca aceasta este o serie divergenta.

In urma celor enuntate mai sus se identi ca urmatoarele observatii:

ț Daca unei serii ii sunt eliminate un numar nit de elemente, atunci natura

acelei serii

P

f nu se schimba.

ț Notiunile serie", suma seriei" si convergenta unei serii" se pot de ni si

in alte spatii cum ar : spatiul liniar normat (A; jj ț jj) sau spatiu liniar

topologic (A;  ).

ț In multimea

P

a seriilor avem de nite operatiile de adunare (

P

f +

P

P g =

(f + g ) si de inmultire a seriilor cu un scalar ((

P

f ) =

P

f ) unde

scalarul  2 <.

Din observatia c) resulta faprul ca, printr-o veri care rapida si imediata, mul-

timea

P

a seriilor convergente in < poate forma un spatiu liniar real.

ț Orice serie

P

=1 f este convergenta daca si numai daca toate seriile

P

= +1 f

sunt convergente pentru orice ; 2N.

ț In momentul in care o serie

P

f este convergenta, atunci inseamna ca sirul

sumelor partiale (s ) este marginit. In caz contrar sirul este nemarginit.

Seria r = f +1+f +2+: : : , este restul de ordin al seriei initiale

P

f . Prin

urmare, daca seria

P

f este convergenta, atunci s = s + r ; de aici se deduce

faptul ca restul este, de fapt, diferenta dintre suma s si suma partiala de ordin

.[4]

Bibliografie

[1] Dumitru Acu. Observatii relative la seria armonica. Educatia Matematica,

2(1-2):33{38, 2006.

[2] Vasile Br^nzanescu and Octavian Stanasila. Matematici speciale: teorie, exem-

ple, aplicatii; algebra liniara, geometrie, ecuatii diferentiale, analiza complexa,

spatii Hilbert, zica matematica. Editura All, 1998.

[3] Gheorghe Chiorescu. Matematici speciale. Terra Nostra, 2002.

[4] B Crstici, T B^anzaru, O Lipovan, M Neagu, N Neamtu, N Neuhaus, B Rendi,

D Rendi, and I Sturz. Matematici speciale. EDP Bucuresti, 1981.

[5] Rodica-Mihaela Dțanet, Florica Voica, and Silviu-Valentin Dilimot-Nitța. Curs

modern de analizța matematicța: teorie expusța gradual, exemple, probleme re-

zolvate, probleme propuse. Siruri, serii, calcul diferential pentru functii de una

sau mai multe variabile, volume 1. Matrix Rom, 2009.

[6] Zinaida GHILAN. Serii de puteri. aplicat, ii ale seriilor de puteri. 2018.

[7] Ana Popescu. Calculul sumelor unor serii numerice aplic^nd metodele analizei

complexe. In Interuniversitaria, pages 65{70, 2015.

[8] O Stanasila and V BRANZANESCU. Matematici speciale, 1998.

Preview document

Serii de puteri în mulțimea numerelor complexe - Pagina 1
Serii de puteri în mulțimea numerelor complexe - Pagina 2
Serii de puteri în mulțimea numerelor complexe - Pagina 3
Serii de puteri în mulțimea numerelor complexe - Pagina 4
Serii de puteri în mulțimea numerelor complexe - Pagina 5
Serii de puteri în mulțimea numerelor complexe - Pagina 6
Serii de puteri în mulțimea numerelor complexe - Pagina 7
Serii de puteri în mulțimea numerelor complexe - Pagina 8
Serii de puteri în mulțimea numerelor complexe - Pagina 9
Serii de puteri în mulțimea numerelor complexe - Pagina 10
Serii de puteri în mulțimea numerelor complexe - Pagina 11
Serii de puteri în mulțimea numerelor complexe - Pagina 12
Serii de puteri în mulțimea numerelor complexe - Pagina 13
Serii de puteri în mulțimea numerelor complexe - Pagina 14
Serii de puteri în mulțimea numerelor complexe - Pagina 15
Serii de puteri în mulțimea numerelor complexe - Pagina 16

Conținut arhivă zip

  • Serii de puteri in multimea numerelor complexe.pdf

Alții au mai descărcat și

Serii

O serie este un sir infinit între elementele caruia s-a scris semnul operatiei de adunare: [ Un sir, numit si sir infinit, este o functie definita...

Transformata Laplace

1.Introducere Fie astfel încât are sens integrala improprie cu parametru (1) Definiţie. Dacă are sens egalitatea (1), F se numeşte transformata...

Matricea Magica

PATRAT MAGIC - MATRICE MAGICA În matematică, un pătrat magic de ordinul n este o aranjare de n² numere într-un pătrat, în aşa fel încât toate...

Reprezentarea Grafică a Funcțiilor pe PC

1. Consideraţii teoretice În proiectarea unui program de trasare automată a graficului unei funcţii va trebui să se ţină seama de o serie de...

Progresii Aritmetice și Geometrice

1.DEFINITIA PROGRESIEI ARITMETICE Un sir de numere (A1 ,A2 ,… ,An ; n>=1) in care fiecare termen incepand cu al doilea ,se obtine din cel...

Ai nevoie de altceva?