Spirală logaritmică - reprezentare grafică

1 Ecuatia generala a spiralei logaritmice 3

2 Definitia unui caz particular 4

A) - reprezentare / raporturi si relatii stabilite intre razele vectoare 4

B) - stabilirea elementelor sirului aflat in progresie geometrica 5

C) - evaluare si raportare la elementele sirului Fibonacci 6

3 Spirala logaritmica de tip ¦ 7

Ecuatia spiralei logaritmice de tip ¦ 7

Anexa 1 Media geometrica in raport ¦ ; corespondenta in sirul Fibonacci 8

Anexa 2 Spirala Bernoulli ; grafic si calcule 11

Anexa 3 Bibliografie 16

1. Ecuatia generala a spiralei logaritmice

Spirala logaritmica este generalizata prin ecuatia :

(raza vectoare „r” este functie de unghiul „è” , unde è  (- , +), iar r(è) `r(è + 2 À), adica difera de valoarea avuta cu 2 À inainte)

Denumirea de spirala logaritmica vine de la forma ecuatiei :

O alta ecuatie sub care este definita spirala logaritmica este functie de unghiul sub care se vede o tangenta la grafic :

unde ”a „ este in grade.

Deci spirala „taie” toate razele vectoare sub acelasi unghi constant „a”

2. Definitia unui caz particular

A). Reprezentare / raporturi si relatii stabilite intre razele vectoare :

- Consideram r1, r2, r3, s.a.m.d. lungimile razelor vectoare ale punctelor spiralei logaritmice situate pe aceeasi dreapta, obtinute astfel :

- r1 obtinuta pentru unghiul è ;

- r2 obtinuta pentru unghiul è + 2 À ;

- r3 obtinuta pentru unghiul è + 4 À ;

- s.a.m.d.

si

r2 – r1 , r3 – r2,….., s.a.m.d. diferentele lungimii razelor vectoare consecutive, conform graficului :

- Raportam razele vectoare consecutive si obtinem :

r2/r1 =[ a e m(è + 2À)] / [a e mè ] = e m(è + 2À) - mè = e mè + 2Àm - mè = e 2Àm , apoi

r3/r2 =[ a e m(è + 4À)] / [a e m(è + 2À)] = e m(è + 4À) - m(è + 2À) = e mè + 4Àm - mè -2Àm = e 2Àm

rn/rn-1 =[ a e m(è + kÀ)] / [a e m[è+(k-2) À] ] = e m(è + kÀ) – m[è+(k-2) À] = e mè + mk À – m[è+kÀ-2À] = e mè + mkÀ – mè - mkÀ+2Àm = e 2Àm