Subspațiul ortogonal - Proiecția ortogonală pe un subspațiu - Exemple și exerciții

Subspatii vectoriale

Definitie: Se numește subspațiu vectorial al lui V o submulțime nevida W a lui V,astfel încat au loc proprietațile:∀u,v∈W,∀k,l∈K ,ku+lv∈W ;

Adunarea și înmulțirea cu scalari pe W sunt restricțiile la W ale operațiilor de pe V;de aceea urmatoarele afirmații sunt echivalente:

W este un subspațiu vectorial al lui V;

W este un spațiu vectorial peste K în raport cu operațiile induse din V.

Exemple de subspații vectoriale

1. Mulțimea W de forma (0,x2, .,xn), ∀x2, ..,xn ∈ K este un subspațiu vectorial al lui Kn . Se observă că are loc egalitatea: W={x=(x1,x2, .,xn) ∈ K|x1=0} Și că W formează un subspațiu vectorial în Kn.

2.Mulțimea funcțiilor impare și mulțimea funcțiilor pare sunt respectiv subspații ale spațiului vectorial real al funcțiilor reale definite pe (-a,a), a∈R*∪{∞}.

3. Fie V=C0[a,b]={f|f:[a,b] →R,f continuă pe [a,b]}. Submulțimea W={f∈C0[a,b],f(a)=f(b)} este un subspațiu vectorial în V.

4. Fie V=R3. Dreptele și planele care conțin originea sunt subspații vectoriale ale lui R3. Coordonatele punctelor lor (triplete din R3) sunt familii de soluții ale unor sisteme lineare și omogene de ecuații cu trei necunoscute.

Teoremă. Dacă U și W sunt două subspații ale spațiului vectorial V,atunci:

Suma dintre U si W,mulțimea U+W={v=v1+v2|v1∈U,v2∈W} este un subspațiu vectorial al lui V;

Intersecția U ∩W este un subspațiu vectorial al lui V; mai mult,intersecția unui număr arbitrar de subspații vectoriale ale lui V este tot un subspațiu vectorial.

Reuniunea U∪W este un subspațiu vectorial al lui V dacă și numai dacă U⊆W sau W⊆U (deci U∪W nu este in general subspațiu vectorial al lui V).

Ortogonalitate.

Definiții.

Fie V unspațiuvectorialeuclidian.

a)Doivectori din V se numescortogonalidacăprodusullor scalar estenul.

b)Osubmulțime S⊂V se numeșteortogonalădacăvectoriisăisuntortogonalidoicatedoi, adică <v,w>=0, ∀ v,w ∈ S,v≠w.

c)O mulțime ortogonală se numește ortonormată dacă fiecare element al său are norma egală cu unitatea.

Definiții.

Fie V unspațiuvectorial Euclidian șiS osubmulțime a sa.

a)Un vector din V se numeșteortogonallui S dacăesteortogonalpefiecare element din S.

b)Mulțimeatuturorvectorilorortogonalirelativ la submulțimea S se numește “S ortogonal” și se notează cu S^⊥. Se observă că S^⊥este un subspațiu vectorial a lui V, indifferent dacă S estesau nu un subspațiu al lui V.

c)Încazulîn care S este un subspațiuvectorial, subspațiulvectorialS^⊥ se numește complementul ortogonal al lui S.

Mulțimea W⊥ = {v ∈ V | v ⊥ w, ∀ w ∈ W} este un subspațiu vectorial al lui V și se numește complementul ortogonal al lui W.

Proiecțiaortogonală a unui vector peunsubspațiu

Fie V un R-spațiueuclidean de dimensiune n, fie {0}≠ U un subspațiu al săusi fie {0}≠ v ⃗∈ V.

Definiție.

Proiecțiaortogonală a vectoruluiv ⃗pesubspațiul U estevectorulu ⃗∈ U cu proprietateacăv ⃗ - u ⃗⊥u ⃗, adică(v ⃗-u ⃗)∙ u ⃗= 0.

Cazul 1.Proiecțiaortogonală a unui vector v ⃗pe un vector 0 ≠ w ⃗esteproiecțiaortogonală a vectoruluiv ⃗pesubspațiulgeneratde w ⃗ : U={u ⃗∈ V| u ⃗ = a∙w ⃗, a ∈ R}. Proiecțiaortogonală a luiv ⃗pe U estevectorulu ⃗ = a ∙ w ⃗, a ∈ R astfelincât (v ⃗-a ∙ w ⃗) ∙ w ⃗ = 0. De aiciobținem a = (v ⃗ ∙ w ⃗)/(w ⃗ ∙ w ⃗ ) .

Deciu ⃗ = 〖pr〗_w ⃗ v ⃗ = a ∙ w ⃗ = (v ⃗ ∙ w ⃗)/(w ⃗ ∙ w ⃗ )∙ w ⃗.

Dacă |w ⃗| = 1, atunci〖pr〗_w ⃗ v ⃗ = v ⃗∙ w ⃗ .

Consecintă.Coordonateleunui vector v ⃗într-o bazăortonomată B={e ⃗1 e ⃗n}sunt xi = v ⃗ ∙ ei,i= (1,n) ̅ .Așadarvectorulv ⃗poate fi exprimat in bază B astfel:

v ⃗ = ((ve) ⃗1)e ⃗1 + +((ve) ⃗n)e ⃗n = pre ⃗1v ⃗ + + pre ⃗nv ⃗

Cazul 2.Proiecțiaortogonală a unui vector v ⃗peunsubspațiu m-dimensional U, m > 1.

Fie B = {e ⃗1 e ⃗m}obazăortonomatăpentru U.

Propoziție. Suma proiecțiilorortogonale ale luiv ⃗pevectoriibazei B subspațiului U esteproiecțiaortogonală a vectoruluiv ⃗pesubspațiul U. Adică:

u ⃗ = pre ⃗1 v + + pre ⃗n v = (v ⃗∙e ⃗1)e ⃗1 + +(v ⃗∙e ⃗n )e ⃗n .

Demonstrație.Trebuiesădemonstrămcav ⃗ - u ⃗⊥u ⃗. Intr-adevar

(v ⃗-u ⃗)∙u ⃗ = v ⃗ ∙ u ⃗ - u ⃗ ∙ u ⃗ =[(v ⃗ ∙ e1) (v ⃗ ∙ e1)+ + (v ⃗ ∙ em) (v ⃗ ∙ em)]-[ (v ⃗ ∙ e1)2+ +(v ⃗ ∙ em)2] = 0.