Teoria Modelului

In matematica,toria modelului studiaza structuri matematice ca grupuri,campuri,grafuri,sau chiar modele ale teoriei multimilor folosind instrumente ale logicii matematice.Teoria modelului a inchis cercul dintre algebra si algebra universala.

Acest articol se concentreaza asupra teoriei modelului de prim ordin finit ale structurilor infinite.Acest model teoretic al structurilor finite deviaza segnificativ de la studiul dtructurilor infinite,dar in termenii problemei studiate si a tehnicilor folosite.Teoria modelului in logica de inalt ordin sau in logica infinitului se impiedica de completitudinea nu sustine in general aceste logici.Cu toate acestea,o multime de studii au fost facute in aceste limbaje.

Rolul teoriei modelului

Modelul teoriei recunoaste si are legatura indeaproape cu dualitatea.Examineaza elemente semantice cu ajutorul elementelor sintactice al limbajului corespunzator.Pentru a cita prima pagina a lui Chang si Keisler(1990):

Algebra universala+logica=teoria modelului

In mod similar ca teoria valabilitatii,teoria modelului este situata in regiunea interdisciplinelor,intre matematica,filosofie si stiinta calculatoarelor.Cea mai importanta organizatie profesionala din campul teoriei modelelor este Asociatia pentru Logica Simbolica.

Domeniile teoriei modelului

O incompleta si oarecum arbitrara subdiviziune a teoriei modelului este in teoria clasica a modelului,teorie a modelului aplicata grupurilor si campurilor,dar si teoria modelului geometric.O subdiviziune lipsa este teoria modelului calculabil,dar aceasta poate fi pusa sub semnul intrebarii daca este o subzona independenta a logicii.Exemple de teoreme timpurii de la modelul clasic al teoriei include teorema completitudinii a lui Gödel,teoremele Löwenheim-Skolem ale ascendentului si descendentului,cele 2 teoreme de cardinal ale lui Vaught,teorema isomorfismului a lui Scott,teorema ometerii tipurilor, si teorema Ryll-Nardjewski.

Exemple de prime rezultate de la teoria modelului aplicate campurilor sunt:eliminarea cuantificatorilor a lui Tarski pentru campurile reale inchise,teorema axului pe campurile pseudo-finite,si extinderea lui Robinson a analizei nestandardizate.Un pas important in evolutia teoriei clasice a modelului s-a produs o data cu nasterea teoriei stabilitatii(prin teorema lui Morley asupra teoriei complete a abstractului si programul de clasificare a lui Shelah),care a extins un calcul al independentei si rangului bazat pe conditii sintactice satisfacute de teorii.

In timpul ultimelor decenii,teoria modelului aplicat s-a unit de mai multe ori cu teoria stabilitatii mai pure.Rezultatul acestei sinteze se numeste in acest articol teoria modelului geometric(care este luat ca includa 0-minimal,de exemplu,ca si teoria clasica a stabilitatii geometrice).Un exemplu a unei teoreme de la teoria modelului geometric este demonstratia lui Hrushovski a ipotezii Mordell-Lang pentru campurile de functii.Ambitia teoriei modelului geometric este de a da o geografie a matematicii prin inbarcarea intr-un studiu detaliat al multimilor definite in diferite structuri matematice ,ajutata de instrumentele substantiale dezvoltate in studiul teoriei modelului pur.

Algebra Universala

Conceptele fundamentale in algebra universala sunt signatirele σ si algebrele σ.Intrucat aceste concepte sunt formal definite in articol la structuri,acest articol poate multumi singur cu o introducere informala care consta in exemple despre cum acesti termeni sunt folositi.

• Semnatura standard a ineleor σrng={*,+,1,0,1},unde „*” si „+” sunt binare, - este unar,0 si 1 sunt zero

• Semnatura standard a grupurilor(multiplicative) este σgrp={*,­¹,1},unde „*”este binar, „­¹”este unar,1 este zero

• Semnatura standard a monoizilor este σmnd={*,1}

Un inel este o structura σrng care satisface identitatile:

u+(v+w)=(u+v)+w

u+0=u=0+u

u*(v*w)=(u*v)*w

u*1=u=1*u

u*u­¹=1=u­¹*u

u*(v+w)=(u*v)+(u*w)

(v+w)*u=(v*u)+(w*u)

Un grup este o structura σgrp care satisface relatiile:

u*(v*w)=(u*v)*w

u*1=u=1*u

u*u­¹=1=u­¹*u

Un monoid este o structura σmnd care satisface identitatile:

u*(v*w)=(u*v)*w

u*1=u=1*u