Analiza numerică a sistemelor mecanice - tema 2

Problema cu 3 bare:

Pentru sistemul din figura de mai jos să se determine deformaţiile axiale ale barelor. Se cunoaşte aria transversală a barelor A=0,01m2 şi modulul de elasticitate

Figura 1. Formularea problemei.

Se cunosc:

θ1 = 0; θ3 = π/2 [rad]; θ2 = π/2 + π/4 [rad]

l1 = l3 = 1 m; l2 = √2 [m];

Fx = 50 000 [N]

Fy = 25 000 [N]

F - este forţa care solicită axial elementul structural;

L - lungimea nedeformată a elementului structural;

E - constanta de elasticitate a materialului din care este confecţionat elementul;

A - aria secţiunii transversale a elementului.

Discretizarea sistemului din figura 1 va fi realizată cu ajutorul a trei elemente de tip bară conform celor prezentate în figura 2. De asemenea sunt prezentate forţele care acţionează asupra sistemului. Se construiesc astfel trei elemente definite astfel:

Figura 2. Modelul cu elemente finite.

Tablelul 1. Definirea elementelor.

Element ID Nod i Nod j

1 1 2

2 3 2

3 4 2

Corespunzător modului de definire a elementelor unghiurile de rotaţie ale sistemelor de coordonate locale faţă de sistemul de coordonate global sunt:

Tablelul 2. Unghiurile de rotaţie ale sistemelor local.

Element ID θ°

1 0

2 315

3 270

Sistemul de coordonate global asociat sistemului este prezetat în figura 3.

Figura 3. Sistemul de coordonate global asociat structurii.

Sistemele de coordonate local asociate elementelor sunt astfel alese încât suportul axei Oxn să îl constituie elementul curent iar direcţia pozitivă a axei să fie de la nodul i la nodul j ale elementului n.

Pentru elementul 1 al sistemului unghiul dintre axa Ox1 şi Ox este de 0°.

Figura 4.Sistemul de coordonate local asociat elementului 1.

Matricea de rotaţie a elementului este:

Pentru elementul 2 al sistemului unghiul dintre axa Ox2 şi Ox este de 315°.

Figura 5.Sistemul de coordonate local asociat elementului 2.

Matricea de rotaţie a elementului este :

Pentru elementul 3 al sistemului unghiul dintre axa Ox3 şi Ox este de 270°.

Figura 6. Sistemul de coordonate local asociat elementului 3.

Matricea de rotaţie a elementului este :