Torsiunea Neîmpiedicată a Barelor de Secțiune Oarecare

1. Generalităţi

Se consideră o bară prismatică elastică, cu o secţiune transversală oarecare constantă, încărcată cu forţe numai în secţiunile din capete echivalente cu momentele de torsiune . Condiţiile pe suprafaţa laterlă sunt:

(1)

iar pe secţiunile din capetele barei:

(2)

Ipotezele cosiderate în acest caz sunt:

- secţiunile transversale se rotesc cu un unghi proporţional cu distanţa acesteia faţă de origine, conturul secţiunii fiind nedeformat.

- toate sceţiunile se deplanează identic, deplasările punctelor secţiunii fiind indepndente faţă de coordonata x

Considerând un punnct A dintr-o secţiune transversală aflată la distanţa x faţă de origine, cu coordonatele x, y, z, poziţia lui pe forma deformată este (fig. 1). Unghiul de torsiune al secţiunii, este proporţional cu cota punctului A:

(3)

unde este unghiul de răsucire specific.

Fig. 1

În ipoteza micilor deformaţii rezultă deplasările punctului A sub forma:

(4)

unde este funcţia deplanării secţiunii transversale.

Folosind relaţiile dintre deplasări şi deformaţii specifice, rezultă:

(5)

(6)

Din ecuaţiile de echilibru ale teoriei elasticităţii, în absenţa forţelor masice, în condiţiile în care :

(7)

de unde rezultă că tensiunile tangenţiale sunt de forma:

, (8)

produsul constant G fiind introdus pentru obţinerea unor relaţii mai simple.

Funcţia este denumită funcţia tensiunilor sau funcţia lui Prandtl. Se demonstrează că:

(9)

şi

. (10)

Din condiţia ca tensiunea tangenţială totală să fie tangentă la conturul secţiunii, rezultă că funcţia tensiunilor este constantă pe contur, şi anume:

(11)

Folosind condiţiile de pe secţiunile din capete, rezultă:

(12)

Integrala reprezintă momentul de inerţie convenţional la tosiune al barei.