Algoritmi și Erori de Calcul

1.1 INTRODUCERE.

Fără a neglija importanţa soluţiilor analitice oferite de matematică, majoritatea problemelor inginereşti pot fi soluţionate pe cale numerică. Descrierea şi analiza cantitativă a oricărui fenomen fizic, chimic, metalurgic,…se face prin calcule aproximative, rezultate din natura aproximativă a valorilor utilizate.

Datele de intrare ale modelelor matematice au ca sursă, măsurările unor mărimi fizice care, în mod inevitabil, sunt însoţite de erori. În egală măsură, modelele matematice utilizate sunt aproximări ale proceselor şi fenomenelor reale. Aplicarea unui algoritm numeric la descrierea unui model matematic implică introducerea altor aproximări în exprimarea derivatelor sau a integralelor pe intervalele de definiţie. La rularea unui program pe calculator, intervine o categorie suplimentară de erori, urmare a faptului că, în memoria maşinii de calcul, rezultatele operaţiilor aritmetice nu pot fi reţinute decât sub forma unui număr finit de cifre. Este evident că problema aproximărilor, erorilor şi implicit, precizia calculelor numerice joacă un rol hotărâtor în obţinerea unor soluţii acceptabile practic.

1.2 Algoritmi de calcul

Rezolvarea unei probleme practice presupune obţinerea unor date de ieşire în urma prelucrării datelor de intrare, conform unui algoritm de calcul impus.

Datele iniţiale formează mulţimea valorilor cunoscute ale parametrilor care descriu fenomenul studiat.

Datele de ieşire formează mulţimea valorilor calculate ale parametrilor analizaţi.

Definiţie: Algoritm de calcul: set ordonat de paşi executabili, descrişi fără echivoc, care definesc un proces finit.

Algoritmul de calcul reprezintă un sistem de reguli care, pe baza datelor de intrare calculează datele de ieşire, prin operaţii succesive, unic determinate. Un algoritm de calcul are următoarele atribute:

a. Generalitate – permite rezolvarea tuturor problemelor din clasa respectivă;

b. Unicitate – transformările intermediare sunt unic determinate;

c. Finitudine – numărul transformărilor intermediare, aplicate datelor de intrare pentru obţinerea datelor de ieşire, este finit.

d. Realizabilitate – să poată fi tradus într-un limbaj de programare.

e. Determinist – să poată fi tradus într-un limbaj de programare.

f. Stabilitate - introducând date iniţiale uşor modificate (perturbate), soluţia obţinută va fi apropiată de cea a problemei iniţiale. Altfel, dacă prin modificarea preciziei de lucru, procedeul conduce la o infinitate de soluţii, atunci se spune că algoritmul de calcul utilizat este instabil.

1.3.Tipuri de erori

Un algoritm de calcul este bine ales dacă precizia calculelor este bună. Corectitudinea soluţiei depinde, însă, de o serie de erori privind precizia de măsurare, metoda de calcul şi precizia calculelor matematice.

Erorile care însoţesc modelul matematic şi datele de intrare se numesc erori inerente, deoarece au un caracter inevitabil.

a. Erori iniţiale

Erorile iniţiale apar ca erori de măsurare datorită preciziei relative a instrumentului utilizat. Această categorie de erori, numite şi instrumentale este o categorie de erori sistematice. În această categorie pot fi introduse şi erorile de observaţie care sunt neregulate sau întâmplătoare.

b. Erori de metodă

La soluţionarea numerică a unei probleme practice se recurge la o anumită metodă matematică ce descrie fenomenul studiat cu un anumit grad de aproximare. Eroarea de metodă poate fi diminuată printr-o alegere atentă a metodei matematice utilizate. De ex: soluţionarea unei ecuaţii diferenţiale de tipul aT/+T=T1, care descrie dinamica încălzirii şi răcirii traductoarelor de temperatură prin două metode: arată că rezultatele obţinute cu algoritmul Runge-Kulta sunt mai precise decât cele obţinute cu algoritmul Euler.

c. Erori de calcul

Erorile de calcul pot fi: de trunchiere, de rotunjire.

Erorile de trunchiere provin din trunchierea unui calcul aritmetic infinit. De ex. pentru calculul sinusului unui unghi, în radiani, poate fi folosită seria Taylor:

(1)

Dar această serie este infinită, ceea ce conduce la utilizarea în calcule numai a unui număr limitat de termeni: ex. primii 4 sau 5, ceilalţi care sunt omişi, introducând o eroare de trunchiere.

Un alt exemplu este cel al algoritmului Newton-Raphson pentru rezolvarea ecuaţiilor neliniare.