Analiza statistică a variabilității valorilor individuale

Lucrarea prezintă într-o formă concisă principalii indicatori ai tendinței centrale, ai împrăștierii și ai

formelor de repartizare a frecvențelor. În cele ce urmează am efectuat analiza repartiției pe grupe de medii

obținute de elevii unei școlii gimnaziale la Evaluarea Națională 2016, utilizând un sistem de indicatori care

au relevanță și prin interpretarea cărora se pot trage concluzii certe în funcție de care se poate prognoza

evoluția viitoare.

1. Introducere

O analiză statistică a acestor rezultate impune câteva considerații teoretice prealabile.

Examenele de evaluare națională clasa a VIII-a sunt destinate să măsoare performanța atinsă de elevi la

absolvirea unor stadii de pregătire.

Performanța indivizilor în cadrul unui lot suficient de mare și instruit omogen se distribuie sub forma

clopotului lui Gauss.

În cazul unui eșantion de 100 de elevi:

Fig. 1 Distribuție corectă a elevilor participanți la evaluare națională

În cazul promovabilității obișnuite notele de la 1 la 4 reflectă performanțe insuficiente pentru promovare,

rezultă că procentul de nepromovare este de cca. (2+5+9+15)/100 = 31% (figura 1).

2. Tendința de centralitate

Pentru o serie de date statistice univariată, distribuția de frecvențe reprezintă șirul numărul valorilor pe

care variabila le ia.

În cadrul distribuțiilor de frecvențe se poate observa gruparea valorilor în jurul unei valori centrale. În

această situație curba de distribuție are forma unui clopot, fiind cunoscută sub denumirea de curba normală

sau Gauss-Laplace.

Gruparea valorilor în jurul unei valori centrale se numește tendința de centralitate a unei distribuții de

frecvențe.

Măsura tendinței de centralitate este dată de un set valori grupate în jurul valorii centrale,

reprezentativitatea acesteia fiind dată de gradul de concentrare al datelor în jurul valorii centrale.

Principalii parametri ce măsoară tendința de centralitate sunt: media aritmetică, modul și mediana.

Media aritmetică

Media aritmetică a setului de date statistice 1x , 2 x , , n x este prin defniție suma acestor date împărțită la

numărul datelor

1

n

i

i

x

x

n

 



. (1)

2

În cazul unei serii de distribuție (cu grupare în clase) formula de calcul este

1

n

i i

i

nx

x

n

 



, (2)

unde ix reprezintă centrul de interval al grupei și in frecvența valorilor din intervalul grupei, iar suma se

extinde pe ansamblul claselor.

Mediana

Mediana ( mx ) reprezintă valoarea centrală a unei serii de date aranjate crescător sau descrescător. Cu alte

cuvinte, față de valoarea mediană, jumătate din observații au valori mai mici sau egale cu mediana, iar

jumătate au valori mai mari sau egale cu mediana.

Seria simplă: Dacă seria are un număr impar de termeni, mediana este a (n+1)/2 valoare din seria

ordonată (crescător sau descrescător). În cazul unei serii cu un număr par de termeni, mediana va fi egală cu

media aritmetică a celor doi termeni centrali.

Seria de frecvențe: În calculul medianei unei distribuții de frecvențe se parcurg următoarele etape:

- se cumulează crescător frecvențele de apariție, ()i Cx

- se stabilește intervalul median inf sup ( , ) i i xx unde i se alege astfel încât

1 ( ) ( )

2 i i

n

C x C x - -  (3)

Notăm cu 1 ( ) ( ) m i i n C x C x -  - numărul de observații pe care îl conține intervalul median și

sup inf

m i i d x x - lungimea intervalului median. Se presupune că valorile variabilei sunt uniform repartizate în

fiecare interval.

- se determină mediana pe baza formulei:

inf

1 ( )

2

m

m i i

m

d n

x x C x

n -

 

   - 

- 

(4)

unde inf

i x = limita inferioară a intervalului median.