Elemente de teoria estimației

Orice cercetare statistică porneşte de la o colectivitate sau populaţie alcătuită din elemente sau indivizi care au o caracteristică generală şi care se diferenţiază prin anumite atribute.

Elementele colectivităţii (populaţiei) se numesc unităţi.

În studiul colectivităţilor statistice, în majoritatea cazurilor suntem nevoiţi să studiem numai părţi din întreaga colectivitate. Ori, în acest caz, se pune în mod natural întrebarea dacă concluziile ce le obţinem concordă cu rezultatul ce l-am obţine dacă studiem întreaga populaţie. Apare astfel problema de a studia modul în care valorile tipice (pe baza cărora tragem concluzii) ale colectivităţii parţiale investigate pot furniza informaţii asupra valorilor tipice ale întregii colectivităţi.

Vom presupune, în cele ce urmează, că urmărim o anumită caracteristică a colectivităţii generale şi că această caracteristică este descrisă de o variabilă aleatoare X definită pe un câmp de probabilitate {Q, K, P}, în care elementele mulţimii Q sunt tocmai elementele colectivităţii generale, K este un corp borelian de părţi ale lui Q, iar P este o probabilitate pe K.

După cum se ştie, dacă Q este finită, atunci K coincide cu mulţimea părţilor lui Q, iar P este o repartiţie discretă uniformă pe Q.

Faptul că suntem obligaţi să cercetăm numai o anumită parte din populaţie este impus de natura concretă a colectivităţii. Astfel, dacă numărul elementelor populaţiei este infinit, în mod necesar nu putem cerceta decât un număr finit şi deci obţinem o informaţie trunchiată.

Dar, în cazul când numărul elementelor populaţiei este finit, atunci când cercetarea calităţii elementelor conduce la distrugerea lor, evident că se impune alegerea unui număr finit pentru cercetare.

Dacă ţinem seama de faptul că orice investigare (cercetare) implică şi anumite cheltuieli, rezultă clar că suntem obligaţi să cercetăm numai o parte din populaţia totală.

Vom numi selecţie (eşantion) o colectivitate parţială de elemente alese la întâmplare. Numărul elementelor dintr-o selecţie îl vom numi volumul selecţiei.

Spunem că o selecţie este repetată, dacă elementul ales la întâmplare este reintrodus în colectivitatea generală înaintea efectuării următoarei alegeri.

Selecţia este nerepetată dacă, elementele alese nu se mai introduc în colectivitatea generală.

Să efectuăm deci o selecţie de volum n dintr-o colectivitate C şi să notăm cu xi, x2, ..., xn valorile de observaţie. Acestea se referă la valorile unei variabile aleatoare X care dă legitatea caracteristicii studiate.

Considerate aposteriori, valorile de selecţie x1, x2, ..., xn sunt valori bine determinate ale variabilei aleatoare X.

Privite apriori, valorile X1, X2, Xn pot fi considerate ca variabile aleatoare independente, identic repartizate cu variabila X, în cazul unei selecţii repetate.

Dacă selecţia este nerepetată, atunci variabilele X1, X2, Xn sunt dependente, dependenţa fiind de tipul lanţurilor cu legături complete.

Dacă volumul colectivităţii generale este suficient de mare iar volumul selecţiei este suficient de mic, deosebirea dintre o selecţie repetată şi una nerepetată este nesemnificativă şi, ca atare, în aplicaţiile practice o selecţie nerepetată se tratează după metodele selecţiei repetate.

Estimaţii

Teoria estimaţiei urmăreşte evaluarea parametrilor unei repartiţii în general cunoscute. Valorile numerice obţinute se numesc estimaţii sau estimatori. Se obţin estimaţii punctuale în cazul în care se folosesc datele selecţiei pentru a obţine valorile parametrilor şi estimaţii ale intervalelor de încredere în cazul în care se determină un interval în care se află, cu o anumită probabilitate valoarea estimată.

Un estimator al parametrului se va nota cu . O estimaţie este nedeplasată dacă , adică media estimaţiei este egală chiar cu valoarea teoretică a parametrului estimat.

Conform proprietăţii 2.3.5.1, adică media de selecţie este un estimator nedeplasat al mediei, iar conform proprietăţii 2.3.5.2., adică dispersia de selecţie este un estimator nedeplasat al dispersiei.

Problema estimării intervalelor se reduce la găsirea unui interval de încredere cu un coeficient de încredere astfel încât .

Este de dorit ca să fie cât mai mare (de obicei este cuprins între 0,9 şi 0,99) iar intervalul să fie cât mai mic. În stabilirea intervalelor se utilizează caracteristicile numerice cuantile. Se numesc cuantile de ordin valoarea a variabilei aleatoare pentru care adică valoarea variabilei aleatoare care are la stânga ei aria sub curba densităţii de probabilitate. Evident:

Pentru a estima un interval se alege , se citesc din tabelele cuantilele, de exemplu şi şi se precizează intervalul. În prealabil, în funcţie de mărimea pentru care se caută intervalul se precizează cu care din repartiţiile cunoscute trebuie lucrat.

Estimarea intervalelor de încredere pentru medii

Cazul când se cunoaste dispersia.

Se consideră o populaţie repartizată normal . Dacă se cunoaşte dispersia se poate folosi faptul că este repartizată . Se notează cu cuantila de ordinul pentru repartiţia . Evident

Aşadar intervalul este un interval de estimare cu coeficientul de încredere . Din anumite puncte de vedere este recomandabil să se utilizeze acele intervale care lasă atât la dreapta cât şi la stânga lor aceeaşi arie, egală cu .

Deoarece repartiţia este simetrică faţă de axa Oy avem relaţia