Indicatori Sintetici ai Distribuțiilor Statistice

Analiza de frecvenţe este o metodă utilă pentru punerea în valoare a unor caracteristici ale distribuţiilor statistice, dar ea este tributară necesităţii de a manipula întreaga cantitate de date, toate valorile unei distribuţii, fie ele si grupate. Pentru a elimina acest neajuns sunt utilizaţi asa numiţii indicatori sintetici. Acestia sunt descriptori numerici care condensează într-o valoare unică o anumită caracteristică a întregii distribuţii de valori. Principalele avantaje pe care le oferă sunt concentrarea semnificaţiei si usurinţa utilizării. În acelasi timp însă, trebuie să avem în vedere că, dată fiind natura lor sintetică, fiecare indicator pierde o anumită cantitate de informaţie care ţine de alte caracteristici, pe care nu le surprinde.

Tipuri de indicatori sintetici:

Trei sunt caracteristicile distribuţiilor care sunt evaluate cu ajutorul indicatorilor sintetici: tendința centrală, variabilitatea și forma. Pentru fiecare din aceste caracteristici se utilizează o serie de indicatori specifici:

- indicatori ai tendinţei centrale, valori tipice, reprezentative pentru întreaga distribuție;

- indicatori ai variabilităţii, valori care descriu caracteristica de împrăstiere a distribuţiei;

- indicatori ai formei distribuţiei, se referă la forma curbei de reprezentare grafică a distribuţiei.

Indicatorii tendinţei centrale

MODUL (Mo)

Modul este expresia cea mai directă a valorii tipice (reprezentative). În cazul unei distribuţii simple, este valoarea cu frecvenţa cea mai mare de apariţie. În cazul unei distribuţii de frecvenţe grupate, este clasa de interval cu frecvenţa cea mai mare de apariţie.

Modul se află prin alcătuirea tabelei de frecvenţe (simple sau grupate) si este valoarea căreia îi corespunde frecvenţa absolută cea mai ridicată. Distribuţiile pot avea un singur mod (unimodale), două moduri (bimodale) sau mai multe (multimodale).

- Exemplu: În seria de valori 5,8,3,2,5,4, Mo=5 (apare de cele mai multe ori)

MEDIANA (Me)

Mediana este valoarea „din mijlocul” unei distribuţii, adică aceea care are 50% dintre valori mai mari și 50% dintre valori mai mici decât ea. Mediana este, în acelasi timp, percentile 50.

Mediana se găseste prin alcătuirea tabelei de frecvenţe, în coloana frecvenţelor relative procentuale cumulate, si corespunde valorii de 50%. În cazul distribuţiilor cu număr impar de valori, Me este chiar valoarea respectivă. În cazul distribuţiilor pare, Me se calculează ca medie a celor două valori din mijlocul distribuţiei.

Exemplu: În seria de valori 5,8,3,2,5,4, ordonată crescător (2,3,4,5,5,8), Me=4,5 (ca medie a valorilor 4 si 5 aflate în mijlocul unei distribuţii pare). Dacă distribuţia noastră ar fi avut 5 valori (fără 2, de exemplu), Me=5.

MEDIA ARITMETICĂ (m)

Media este raportul dintre suma valorilor distribuţiei si numărul acestora.

Notaţiile uzuale pentru medie sunt:

o (miu), atunci când este media întregii populaţii de referinţă

o m, atunci când se calculează pentru un esantion (cazul cel mai frecvent)

Calcularea mediei pentru o distribuţie simplă de frecvenţe se face prin adunarea valorilor si împărţirea la numărul lor

o Exemplu: Pentru distribuţia 5,8,3,2,5,4

Calcularea mediei pentru o distribuţie de frecvenţe grupate se face prin suma produsului dintre fiecare valoare si frecvenţa ei, care apoi se împarte la suma frecvenţelor (numărul valorilor).

Exemplu: Pentru distribuţia: 5,8,3,3,3,2,4,2,3,5,4

NOTĂ: În expresia de mai sus:

- X este variabila. X se înţelege ca „Sumă de la X1 la X_ (unde N=numărul valorilor acesteia)

- f este frecvenţa. f se înţelege ca „Sumă de la f1 la fk (unde k numărul grupelor de frecvenţă)

Proprietăţile mediei aritmetice

o Adăugareascăderea unei constante la fiecare valoare a distribuţiei, mărestescade media cu acea valoare.

o Înmulţireaîmpărţirea fiecărei valori a distribuţiei cu o constantă, multiplicădivide media cu acea constantă.

o Suma abaterii valorilor de la medie este întotdeauna egală cu zero.

o Suma pătratului abaterilor de la medie va fi întotdeauna mai mica decât suma pătratelor abaterilor în raport cu oricare alt punct al distribuţiei

În final, prezentăm un exemplu ilustrativ de calcul al modului, medianei si mediei pe o distribuţie X de N=15 valori.