Testul Z pentru un singur eșantion

În urma aplicării testului de inteligenţă pentru esantionul de șahiști (N=30) am obţinut următoarele valori statistice: m=106 si s=7. Ne amintim că media inteligenţei populaţiei, exprimată în unităţi QI, este μ=100, iar abaterea standard σ=15. Cu aceste date putem calcula nota z corespunzătoare esantionului cercetării, cu formula:

-unde m este media esantionului, μ este media populaţiei, iar sm este eroarea standard a mediei.

Rezultatul calculului este:

În exemplul de mai sus, fiind vorba de o valoare QI, a cărei abatere standard la nivelul populaţiei ne este cunoscută (am optat pentru σ=15) si am utilizat-o ca atare. Dacă ar fi fost vorba de o variabilă pentru care nu cunosteam abaterea standard la nivelul populaţiei, am fi putut utiliza aceeasi valoare calculată pe esantionul de studiu (s=7).

Dacă citim frecvenţa corespunzătoare valorii z calculate (2.18) în tabelul distribuţiei normale, constatăm că între media populaţiei de nul (z=0) si nivelul inteligenţei esantionului de șahiști se află 48.54% dintre valorile posibile. De aici rezultă că există 50-48.54 adică 1.46% sanse (sau o probabilitate p=0.0146) ca hazardul să producă un esantion cu un QI egal sau mai mare decât esantionul cercetării noastre. Imaginea de mai jos ilustrează grafic poziţia mediei esantionului de cercetare pe distribuţia de nul.

Ne putem imagina o situaţie în care scorul mediu QI al esantionului de șahiști este atât de mare încât să nu existe nici o sansă de a se obţine un rezultat mai bun ca urmare a unei selecţii întâmplătoare din populaţia de nul- Teoretic, acest lucru nu este posibil. Oricât de mare ar fi media unui esantion de șahiști, hazardul poate produce un esantion cu medie mai mare din populaţia de nul, deoarece curba normală este asimptotică. Există însă un „prag” dincolo de care probabilitatea unui esantion aleatoriu din populaţia generală cu un QI mai mare decât cel al esantionului de șahiști este atât de mică, încât să ne putem permite să o considerăm neglijabilă. Într-un asemenea caz, putem concluziona că valoarea calculată pe esantionul cercetării nu decurge din variaţia întâmplătoare a mediei de esantionare, ci provine din acţiunea unui factor sistematic care a condus la îndepărtarea semnificativă a mediei esantionului de studiu de media

populaţiei (în cazul nostru, faptul că fac parte dintre șahiștii de performanță). Despre „pragul” evocat mai sus, vom vorbi în continuare.

Decizia statistică

Următorul pas pe care trebuie să îl facă cercetătorul este acela de a decide dacă valoare medie a esantionului de șahiști decurge din faptul că acestia sunt într-adevăr mai inteligenţi decâtceilalți oameni în general, sau reprezintă rezultatul unui joc al sansei, care a condus la selecţia unui esantion ce nu se diferenţiază în mod real de populaţia de nul. Este evident faptul că, dacă media esantionului de șahiști ar fi fost egală cu 100, cercetătorul ar fi decis că valoarea nu confirmă ipoteza cercetării. În exemplul dat însă, media esantionului cercetării fiind mai mare, ne punem problema, cât de mare trebuie să fie diferenţa faţă de media populaţiei pentru a accepta că este o diferenţă „reală” (determinată de un factor de influenţă, faptul de a fi șahiști). Altfel spus, trebuie să decidem dacă acceptăm sau respingem ipoteza de nul.

Din păcate, nu există un criteriu obiectiv de decizie într-o situaţie de acest gen. Acceptarea sau respingerea ipotezei de nul depinde de gradul de risc pe care suntem dispusi să nil asumăm în acest sens. Este evident că cineva interesat în acceptarea ideii că șahiștii sunt mai inteligenţi ar fi dispus să considere că valoarea obţinută este suficient de îndepărtată de medie pentru a respinge ipoteza de nul. La fel cum, cineva neîncrezător în această ipoteză, ar putea fi dispus să impună un prag de respingere mult mai sever. Iată de ce, în practica cercetării stiinţifice s-a impus convenţia unui prag maxim de risc acceptat pentru decizia statistică. Acest prag „critic” se numeste nivel alfa (α) si corespunde probabilităţii de 0.05. Pe curba normală z, fiecărei probabilităţi îi corespunde o anumită valoare z, ca urmare si probabilităţii „critice” alfa îi corespunde o valoare critică z. Dat fiind faptul că a început prin a fi citită dintr-un tabel, mai este desemnată si ca „valoare tabelară”.

Avem acum toate elementele pentru luarea deciziei statistice în cazul cercetării noastre, pe baza unui raţionament convenţional, identic pentru întreaga comunitate stiinţifică. Esenţa acestuia constă în comparaţia rezultatelor derivate dintr-un context de cercetare cu cele specific unui context ipotetic, aleatoriu (bazat pe sansa pură), după cum urmează:

a) Dacă rezultatul calculat pentru esantion este cel puţin egal sau mai mare decât scorul critic, atunci avem un rezultat semnificativ al cercetării. Aceasta, deoarece se acceptă că sansele ca acest rezultat să fi decurs din întâmplare sunt suficient de mici pentru a fi ignorate. În consecinţă, într-un astfel de caz, ipoteza de nul (H0) se respinge, iar ipoteza cercetării (H1) se consideră confirmată la un prag alfa=0.05 (dacă acesta a fost nivelul ales).

b) Dacă rezultatul esantionului este mai mic decât scorul z critic, atunci avem un rezultat nesemnificativ al cercetării, prin faptul că există prea multe sanse ca acesta să poată fi obţinut în condiţii pur aleatoare. În această variantă, ipoteza de nul se acceptă, iar ipoteza cercetării se consideră infirmată la un prag alfa=0.05.

c) Cele două reguli decizionale de la punctele a si b sunt exprimate pe baza comparaţiei dintre valoarea calculată a testului si valoarea critică tabelară, aferentă nivelului alfa. Ele însă pot fi exprimate si direct, prin comparaţia probabilităţii valorii calculate cu alfa. Singura diferenţă este dată de faptul că raportul dintre probabilitatea asociată scorului calculat si alfa este invers decât în cazul valorilor. Astfel, ipoteza de nul se admite dacă probabilitatea (p) a valorii calculate este mai mare decât alfa, si se respinge dacă este egală sau mai mare decât acesta. Această precizare, îsi dovedeste utilitatea în momentul în care se utilizează programe statistice, care fac inutilă consultarea tabelelor distribuţiei de nul, deoarece dau direct probabilitatea asociată valorii calculate a testului.