Codul binar Golay

În domeniul matematicii și a ingineriei electronice, un cod Golay binar este un tip de cod de corectare liniară a erorilor utilizat în comunicațiile digitale.Codul Binar Golay , împreună cu codul ternar Golay, are o legătură profundă cu teoria grupurilor finite sporadice în matematică.Aceste coduri sunt numite în onoarea lui Marcel J.E.Golay, a carui lucrare din 1949 este descrisă de E.R.Berlekamp ca fiind ‘’cea mai bună pagină publicată’’ în teoria codării.

Există două coduri Golay binare similare:

- Codul Golay binar extins, G24( denumit uneori ‘’Codul Golay’’ în teoria grupurilor finite) codifică 12 biți de date într-un cuvânt de 24 de biți, astfel încât orice eroare de 3 biți să poată fi corectată sau orice eroare de 7 biți sa fie detectată.

- Codul Golay binar perfect, G23, are coduri de lungime 23 și este obținut din Codul Golay binar extins prin ștergerea unei poziții de coordonate( în schimb,codul Golay binar extins este obținut din Codul Golay binar perfect prin adăugarea unui bit de paritate.

În codarea standard, codurile au parametrii [24,12,8] și [23,12,7], corespunzători lungimii cuvintelor de cod, dimensiunii codului și distanței minime Hamming între doua cuvinte de cod.

Definiția matematică

În termeni matematici, codul Golay binar extins G24 constă dintr-un subspațiu liniar 12 dimensional W al spațiului V=F224 al cuvintelor de 24 biți , astfel încât oricare două elemente distincte ale lui W diferă în cel puțin 8 coordonate. W este un cod liniar deoarece este un spațiu vectorial. În total, W cuprinde 4096=212 elemente.

- Elementele lui W se numesc cuvinte de cod. Acestea pot fi, de asemenea, descrise ca subseturi ale unui set de 24 de elemente, în care adăugarea este definită ca luarea diferenței simetrice a subseturilor.

- În codul Golay binar extins, toate cuvintele de cod au greutăți Hamming de 0,8,12,16 sau 24. Cuvintele cod ale greutății 8 se numesc octeți și cuvintele cod al greutății 12 se numesc dodecade.

- Octeții din codul G24 sunt elemente ale sistemului S(5,8,24) Steiner.

Există 759=3x11x23 octeți și 759 de complemente ale acestora. Rezultă că există 2576=24x7x23 dodecade.

- Doi octeți se intersectează( au 1 în comun) în coordonatele 0,2 sau 4 ale reprezentării vectorului binar.Un octet și un dodecad se intersectează în coordonatele 2, 4 sau 6.

- Codul Golay binar , G23 este un cod perfect. Adică, sferele de rază trei în jurul cuvintelor de cod formează o partiție a spațiului vectorial. G23 este un subspațiu 12-dimensional al spațiului F223.