Algebră booleană

Introducere ȋn algebra booleanǎ

1. Algebra Booleanǎ

- Se mai numește și logicǎ booleanǎ;

- Și-a cǎpǎtat numele dupǎ matematicianul englez George Boole, care a scris despre ea ȋn cartea sa „O investigare a legilor gȃndirii” („An investigation of the Laws of Thought”) - 1854;

- Printre aplicațiile algebrei logice se numǎrǎ: logica matematicǎ, logica digitalǎ, programarea calculatoarelor, statistica;

- Cel care a descoperit aplicabilitatea algebrei booleene ȋn electronicǎ este Shannon Claude Elwood, el demonstrȃnd ȋn teza de absolvire a masteratului cǎ orice problemǎ de logicǎ se poate rezolva utilizȃnd relee;

- O funcție logicǎ (funcție booleanǎ) este de tipul:

- Operatorii logici de bazǎ sunt:

Operator: ȘI SAU NU

Notație * +

Denumire alternatvǎ Produs logic

Conjuncție Sumǎ logicǎ

Disjuncție

- Prin combinația celor 3 se obțin restul operatorilor: Sau exclusiv (XOR), Sau negat (NOR), Și negat(NAND)

2. Proprietǎțile algebrei booleene

• idempotența

o a + a = a

0 + 0 = 0

1 + 1 = 1

o a ∙ a = a

0 ∙ 0 = 0

1 ∙ 1 = 1

• comutativitatea

a + b = b + a

a ∙ b = b ∙ a

• asociativitatea

(a + b) + c = a + ( b + c ) = a + b + c

(a ∙ b) ∙ c = a ∙ ( b ∙ c ) = a ∙ b ∙ c

• distributivitatea

a ∙ ( b + c ) = a ∙ b + a ∙ c

• simetria

a = b → b = a

• reflexivitatea

a = a

• tranzitivitatea

→ a = c

• Teoremele lui De Morgan

1.

2.

• Teoreme de absorbție (utile pentru simplificarea expresiilor logice):

1. + =

2. a

3. a + = a + b

4. a = a b

5. a + c + b c = a b + c

6. (a + b) ( + c) (b + c) = (a + b) ( + c)

• Alte relații

+ 0 =

+ 1 = 1

∙ 0 = 0

∙ 1 =

+ = 1

∙ = 0

=

3. Reprezentarea funcțiilor logice

• Prin tabele de adevǎr

• Ȋn formǎ algebricǎ prin:

• Forma normală disjunctivă (FND) (sumǎ/disjuncție de produse/conjuncții)

• Forma normală conjunctivă (FNC) (produse/conjuncții de suma/disjuncții)