Rezolvarea Numerică a Ecuațiilor Algebrice și Transcendente

Rezolvarea numerica a ecuatiilor algebrice

si transcendente.

Scopul lucrarii:

1) Sa se separe toate radacinile reale ale ecuatiei f(x) = 0 unde y = f(x) este o functie reala de variabila reala.

2) Sa se determine o radacina reala a ecuatiei date cu ajutorul metodei înjumatatirii intervaluluicu o eroare mai mica decît µ = 10+6.

3) Sa se precizeze radacina obtinuta cu exactitatea µ = 10+6, utilizînd:

- metoda aproximatiilor succesive;

- metoda tangentelor (Newton);

- metoda secantelor.

4) Sa se compare rezultatele luînd în consideratie numarul de iteratii, evaluarile pentru functii si derivata.

V – 25

x3 - 15x - x2 + 19 = 0

Consideratii teoretice:

1. Calculul radacinii reale prin metoda înjumatatirii intervalului

Sa consideram ecuatia f(x)=0,unde functia f(x) este continua pe intervalul [a,b],are o singura radacina reala în acest interval si f(a)*f(b)<0. Calculam c=(a+b)/2 – jumatatea intervalului [a,b]. Daca f(c)=0, atunci c este chiar radacina cautata, daca nu, atunci radacina reala se gaseste într-unul din intervalele [a,c] sau [c,b], acolo unde functia capata valori de semne contrare la capetele intervalului (daca f(a)*f(c)>0, atunci a=c, altfel b=c, atît cît |a-b|>eps, unde eps - o eroare precizata).

2. Metoda aproximatiilor succesive:

Fie f(x)=0, sub forma x=j(x). Aceasta reprezentare se mai numeste functia iterationala. Plecînd de la o valoare initiala arbitrara x0¬ generam sirul {xk} (functie generica) dupa regula : xk+1=j(xk), k=0,1,2,…, pîna cînd

|xk+1-xk| < eps, unde eps – o eroare precizata.

3. Metoda lui Newton(metoda tangentelor)

Fie o ecuatie algebrica sau transcendenta f(x)=0 care admite o singura radacina reala în intervalul [a,b]. Metoda lui Newton este definita dupa urmatoarea formula: xk+1=xk-f(xk) / f’(xk), k=1,2,…, unde punctul xk+1 este abscisa punctului de intersectie a tangentei dusa la curba y=f(x) în punctul xk cu axa ox. De aceea metoda aceasta se numeste metoda tangentelor. Valoarea xk+1 se calculeaza pîna cînd |xk+1-xk|<eps, unde eps – o eroare precizata.

4.Metoda secantelor

Aceasta metoda consta în aproximarea functiei f(x) pe intervalul [a,b], în care ecuatia f(x)=0 are o radacina izolata printr-o dreapta. Algoritmul metodei secantelor consta în calculul iterativ dupa formulele:

Am separat radacina prin metaoda grafica, deoarece prin metoda lui Rolle cind am incercat sa gasesc radacinile derivatei am ajuns la inexistenta solutiilor.

Metoda grafica fiind deci o alternative la cea a lui Rolle. Asa deci dind valori am abtinut un grafic si am gasit intervalul [-10,10].

f `(x) = 3x2 -15-x