BCE - Seminare 1-5

BCE Seminar 1

Sistemele dinamice discrete

Clasificare:

Un sistem dinamic discret este o secven.a de func.ii yt, care exprima

valorile indicatorilor economici la momentele t=0,1,2,... .i sunt definite

recursiv, adica exista o regula care leaga func.iile din secven.a.

Notam secven.a func.iilor {yt}, care satisface

( ) .1 . t t y f y (1)

Rela.ia (1) este o ecua.ie recursiva de ordin unu, adica t y este func.ie

de valoarea sa în momentul anterior, 1. t y .

Rela.ia (1) se poate scrie cu operatorul de diferen.e finite

( ) .1 .1 . . . . t t t t y y y g y (2)

Rela.ia (2) este ecua.ie cu diferen.e finite de ordin unu.

În ecua.ia (1) ( ) t.1 f y .i în rela.ia (2) ( ) t.1 y g pot fi liniare sau

neliniare.

Ecua.ia recursiva liniara, neomogena, de ordin unu:

În terminologia teoriei sistemelor, t y este numita

variabila de stare, întrucât exprima dinamica sistemului, iar b, termenul

liber, în cazul nostru o constanta, exprima interven.ia decidentului,

decizia sau controlul, intrarile sistemului.

Algoritm de determinare a traiectoriei (evolu.iei în timp a indicatorului

economic exprimat prin func.ia t y :

y ay b t t . . .1

2

- Scriem ecua.ia omogena:

01 ... t t ay y

- Cautam o solu.ie de forma:

t

t y . .

.i punem condi.ia ca solu.ia sa verifice ecua.ia omogena:

0 1 . . t t. . a.

- Împar.im ecua.ia la

1. t . :

a a . . . . . . 0

Aceasta este ecua.ia caracteristica.

- Scriem solu.ia generala a ecua.iei caracterisice:

t G

t A y . . ,

Adica:

G t

t y . A(a)

Unde A este constanta generalizata.

- Daca ecua.ia este neomogena, calculam solu.ia particulara.

Folosim metoda coeficien.ilor nedetermina.i:

Cautam o solu.ie particulara de forma termenului liber (în cazul

nostru, o constanta):

y D cons t P

t . . tan

Punem condi.ia ca solu.ia particulara sa verifice ecua.ia

neomogena, înlocuind func.ia y, cu D:

D.aD . b

y D b /(1 a) P

t . . .

-Solu.ia ecua.iei recursive neomogene, este suma între solu.ia

ecua.iei omogene .i a solu.iei particulare:

y y y A D P t

t

G

t t . . . . .

Adica:

3

a

b

y y y A a P t

t

G

t t .

. . . .

1

( )

- Determinarea traiectoriei de evololu.ie-

(valoarea, în fiecare moment t, a variabilei de ie.ire, ty , în

func.ie atât de variabila de intrare/comanda/decizie, în cazul

nostru, o constanta, b, cât .i de parametrii modelului dinamic).

Solu.ia depinzând de constanta A, care poate lua o infinitate de

valori, genereaza a.a numitul “ câmp de direc.ie”.