Ajustarea liniară

Deseori, apare necesitatea de a explica si controla,pe cat posibil,fenomenele si procesele din economie,care pot reflecta situatii mai mult sau mai putin favorabile.De aceea ,se elaboreaza o serie de instrumente eficiente cu ajutorul carora sa explicam situatiile existente si sa eliminam,sau eventual sa diminuam,efectele nedorite ce pot aparea intr-un anumit context economic.

Metoda de baza pentru analiza statistica a unui set de date este analiza de regresie sau ajustare.insemnatatea regresiei se datoreaza faptului ca ofera posibilitatea de a specifica o relatie intre doua sau mai multe variabile,de a cuantifica impactul unei multimi de variabile asupra altei variabile sau de a estima coeficientii modelului dintr-o selectie de date,de a verifica ipotezele cu privire la modelul estimat si de a prognoza valoarea medie a variabilei dependente pe baza valorilor cunoscute sau fixate ale variabilelor independente,explicative.

Consideram doua variabile economica X si Y ce caracterizeaza o anumita populatie sau colectivitate generala.Suntem interesati de modificarea variabilei Y sub actiunea variabilei X,adica de efectul variabilei X asupra distributiei variabilei Y .Din colectivitatea generala de N unitati statistice se face o selectie aleatoare de n perechi de observatii ,(x1,y1),(x2,y2),...,(xn,yn).Aceste informatii pot fi informatii despre firme sau familii ,colectate la un anumit moment de timp,in acest caz fiind numite serii de date transversale.Alternativ,aceste observatii pot fi informatii despre o anumita industrie sau tara,colectate pe mai multe perioade de timp,in acest caz fiind numite serii cronologice.

In mod frecvent,intr-un studiu elementar,se doreste sa se precizeze o eventuala legatura intre cele doua marimi pentru care se dispune de o serie de observatii comune.Se poate reprezenta observatia i, a seriilor precedente,prin punctul (xi,yi) din planul X x Y.Figurand astfel cele n observatii se obtine un nor de puncte asociat unei perechi de serii statistice.Reprezentarea datelor de observatie intr-o diagrama a imprastierii poate da informatii despre existenat unei relatii intre cele doua variabile si despre tipul de relatie,in caz ca aceasta exista.

Regresia liniara postuleaza o legatura liniara intre cele doua variabile,deci ea prezinta interes doar daca norul de puncte prezinta forma liniara.Ajustarea liniara presupune cautarea celei mai bune drepte care poate rezuma structura norului de puncte de observatie.Termenul de regresie se foloseste ca urmare a unui studiu publicat in 1886 de catre staticianul englez Francis Galton care explica inaltimea copiilor in raport cu cea a parintilor.Acesta a observat o panta a dreptei care aproxima observatiile mai mica decat 1,adica revenirea la medie sau o regresie.

In analiza de regresie variabila explicativa apare intotdeauna pe axa orizontala iar variabila raspuns apare pe axa verticala.Chiar daca diagrama indica existenta unei relatii intre cele doua variabile,daca datele nu sunt obtinute dintr-un experiment controlat,nu se pot face afirmatii definitive despre cauzalitate in analiza regresiei.Motivul este faptul ca nu poate fi exclusa posibilatea ca o alta variabila este cauza variatiei ambelor variabile observate.

Un studiu econometric incepe cu o serie de presupuneri teoretice despre anumite aspecte ale economiei.

I.Modelul unifactorial de regresie

Definim modelul unifactorial de regresie printr-o relatie matematica construita pe baza teoriei economie,care presupune ca fenomenul economic Y(fenomenul efect) este rezultatul actiunii a doua categorii de factori: prima constituita dintr-un singur factor principal,esential,determinant X si a doua formata din toti ceilalti factori,considerati neesentiali,cu actiune intamplatoare,specificati prin variabila reziduala ) sau constanta,invariabila,asupra lui Y care nu trebuie specificati in model.

Specificarea modelului unifactorial consta in precizarea variabilei endogene Y si a celei exogene X,pe baza teoriei economice,fiind ca orice ipoteza teoretica adevarata sau falsa.

y=f(x)+ε

Identificarea modelului consta in alegerea unei functii cu ajutorul careia se urmareste descrierea valorilor variabilei endogene doar in functie de variatia variabilei exogene X.Identificarea modelului se poate face prin procedeul grafic,procedeul conservarii ariilor si procedeul calculelor algebrice.

Una dintre functiile matematice utilizate cel mai des o constituie functia liniara.Relatia dintre variabila efect si variabila cauza studiata de regresia simpla liniara intr-o populatie statistica generala poate fi descrisa prin modelul probabilistic liniar :

yi=α+βxi+ε

Pentru a obtine proprietatile dorite ale estimatorilor regresiei,se fac,de obicei,sase ipoteze standard pentru modelul din populatia generala.

Ipotezele ce trebuie verificate sunt formulate astfel:

1.Formula functionala: yi=α+βxi+εi

2.Media zero a erorilor: E(εi)=0

3.Homoscedasticitatea Var(εi)=σ2

4.Non-autocorelarea erorilor : Cov(εi,εj)=0

5.Necorelarea intre regresor si erori: Cov(xi,εj)=0

6.Normalitatea erorilor: εi~N(0,σ)

Estimarea parametrilor modelului de regresie

Modelul de regresie in esantion este :

yi=a+bxi+ei

cu componenta predictibila :

y=a+bxi

unde a si b sunt coeficientii functiei de regresie,u=iar ei este valoarea reziduala(pentru unitatea 1)in esantion:

εi=yi-(a+bxi)

nu este altceva decat o masura a distantei de la un punct(xi,yi) la linia de regresie.

Procedeul de determinarea a liniei de regresie in esantion urmareste sa gaseasca valorile lui a si b,astfel incat valorile estimate ale variabilei dependente sa fie cat mai aproape posibil de valorile observate y adica dreapta sa treaca cat mai aproape de toate punctele observate.Un criteriu pentru determinarea valorilor a si b este metoda minimizarii sumei patratelor deviatiilor(abaterilor sau reziduurilor) ei.Cu cat este mai mica valoarea ei,cu atat este mai aproape yi de valoarea observata yi.Metoda ,cunoscuta ca metoda celor mai mici patrate inseamna minimizarea relatiei :

S(a,b)=minΣεi2=minΣ(yi-a-bxi)2

Evaluarea validitatii modelului unifactorial de regresie liniara

Deoarece valorile previzionate pentru modelul de regersie depind de variatia lui X,putem verifica daca variatia lui X este un bun predictor pentru variatia lui Y adica presupune validarea modelului de regresie obtinut.Pentru atingerea acestui obiectiv se parcurg urmatoarele etape: testarea validitatii modelului de regresie folosind metoda analizei de varianta (ANOVA),determinarea si testarea semnificatiei raportului de corelatie ,inferenta statistica pentru parametrii modelului de regresie si verificarea ipotezelor modelului de regresie