Metoda bisecției

Metoda bisectiei

Orice ecuatie care nu are forma a * x+b=0 se numeste neliniara si se exprima sintetic:

f(x) = 0

Daca functia f(x) are forma unui polinom sau poate fi adusa la aceasta forma, ecuatia se numeste algebrica. In caz contrar - cand f(x) are o forma oarecare - ecuatia se numeste transcendenta. De exemplu functiile:

genereaza ecuatii algebrice, in timp ce functiile:

genereaza ecuatii transcendente.

Un punct din intervalul de definitie al lui f(x) cu proprietatea f( )=0 se numeste zerou al functiei f(x) sau radacina a ecuatiei f(x)=0.

Metodele de rezolvare a ecuatiilor neliniare au toate caracter iterativ si se impart in doua mari categorii: metode de partitionare si metode de aproximatii succesive.

Pentru metodele de partitionare, folosind principiul partitionarii, intervalul de lucru este micsorat progresiv, pana la o deschidere suficient de mica pentru a satisface precizia impusa. Metodele din aceasta categorie (metoda bisectiei sau metoda secantei) sunt metode sigure - in sensul in care radacina este intotdeauna izolata intr-un interval suficient de ingust - dar se caracterizeaza printr-o convergenta lenta.

Dupa incadrarea unei solutii exacte, se pot aplica o serie de metode iterative care permit determinarea unei solutii aproximative in limita preciziei impuse. Dintre acestea, metodele de partitionare actioneaza direct asupra intervalului in care a fost incadrata solutia, urmarind "comprimarea" acestuia pana la limita impusa de criteriul de oprire. Deoarece la fiecare iteratie, intervalul de lucru incadreaza permanent solutia exacta, convergenta acestor metode este garantata. Din pacate, ele se caracterizeaza printr-un numar mare de iteratii necesare atingerii preciziei impuse, deci prin timpi de calcul mari.

Metoda bisectiei

Metoda bisectiei, numita uneori si metoda dihotomiei sau a injumatatirii intervalelor, este cea mai simpla dintre metodele de rezolvare a ecuatiilor algebrice si transcendente. Se considera ca, printr-un procedeu oarecare, s-a reusit localizarea radacinii exacte a ecuatiei f(x)=0 in intervalul [ , ]. In ipoteza in care functia f(x) este continua, iar radacina este singurul zerou al lui f(x) in [ , ], la extremitatile intervalului functia ia valori de semne contrare: f( ) * f( )<0.

Determinarea aproximatiei ' a radacinii exacte cu o precizie folosind metoda bisectiei foloseste urmatoarea schema (vezi si figura de mai sus): intervalul [ , ] se injumatateste prin punctul m=( + )/2 si se calculeaza produsul f(m) * f( ). Daca f(m) * f( ) este pozitiv, radacina se gaseste intre si m.In acest caz, se retine valoarea lui m ca extremitatea dreapta a intervalului ( <-- m) si se reia procedeul. Daca f(m) * f( ) este negativ, radacina se gaseste intre m si . De aceasta data, se modifica extremitatea stanga a intervalului ( <-- m) si se reia procedeul. Aceasta schema se aplica in mod repetat pana cand lungimea intervalului [ , ] - modificat de la o iteratie la alta - scade sub valoarea limita 2* , adica - < 2* . Daca, in acest moment, se considera ca radacina aproximativa '=( + )/2, acesta nu se indeparteaza de solutia exacta cu mai mult de . Desigur, intr-un caz banal, este posibil ca, in cursul injumatatirii intervalelor succesive [ , ], punctul m sa coincida cu radacina exacta . Aceasta situatie se recunoaste prin anularea produsului f(m) * f( ), caz in care schema de calcul se intrerupe, dispunand in acest caz chiar de radacina exacta '=m= .