Extras din seminar

În cele ce urmeaza se va folosi o generalizare a teoremei lui Lagrange pentru demonstrarea unor inegalitati. Voi demonstra, mai întâi, o generalizare a teoremei cresterilor finite.

Fie , , , , , , . Daca:

1. f este continua pe ,

2. f este derivabila pe ,

3. ,

atunci exista, cel putin, un punct cu , astfel încât:

. (1)

Demonstratie. Se considera functia , . Cum este functie Rolle pe , k urmeaza a fi determinat astfel încât adica , de unde:

(2)

Pentru aceasta valoare a lui k, functia h verifica ipotezele teoremei lui Rolle. Atunci exista cel putin un punct astfel încât .

Cum rezulta de unde:

(3)

Din (2) si (3) rezulta:

(4)

Cum dreapta AB are ecuatia si punctul , atunci de unde , relatie care introdusa în (4) da:

de unde

,de unde: , adica:

, adica relatia (1).

Interpretarea geometrica a generalizarii teoremei lui Lagrange:

Daca , satisface conditiile 1., 2., 3., atunci exista cel putin un punct astfel încât tangenta la graficul functiei în punctul întâlneste coarda AB în (fig. 1).

Observatii.

1) Daca , atunci tangenta în punctul la graficul functiei si coarda AB se întâlnesc pe axa Oy (fig. 2) si se obtine teorema lui D. Pompeiu prezentata într-o comunicare la Congresul al III-lea al matematicienilor români din anul 1945:

Fie , . Daca:

a) f este continua pe , b) f este derivabila pe ,

atunci exista cel putin un punct astfel încât:

. (5)

2) Daca , atunci tangenta în punctul la graficul functiei si coarda AB se întâlnesc pe axa Ox (fig. 3), adica si relatia (4) devine:

(6)

Ca si în cazul teoremei lui Lagrange se poate gasi un numar mare de inegalitati care sa aiba la baza aceasta generalizare.

Dificultatea demonstrarii acestora consta în gasirea functiei si a punctului pe care le-a considerat propunatorul.

Exemple.

1. Daca , atunci .