Cursuri și Seminarii Econometrie

Econometrie

Semestrul al II-lea

Facultatea de Informatica Manageriala

Asist. univ. Ovidiu Solomon

Seminarul 1

Probabilitati

Definitii

1.experienta aleatoare-orice experinta cu rezultat intamplator

2.caz posibil-rezultatul unic al unei experiente

3.Ω={ω1,ω2,…,ωn}-multimea elementelor elementare

4.eveniment aleator asociat unei experiente- orice situatie despre care se poate spune ca s-a

realizat sau nu in urma experientei

5.caz favorabil- eveniment care se realizeaza intr-o anumita conditie

6.eveniment sigur-eveniment care se realizeaza in orice situatie(Ω)

7. Ø = eveniment imposibil-evenimentul care nu se realizeaza in nici o conditie

8.evenimente contrare- daca A este un eveniment, -

A este evenimentul contrar si consta in

nerealizarea lui A.

9.evenimente compatibile/incompatibile- A, B evenimente campatibile/incompatibile daca se

pot/nu se pot realiza simultan( A B≠Ø / A B=Ø)

10.sistem complet de evenimente- A1,A2,…An este un sistem complet de evenimente daca:

a)Ai Aj =Ø, i≠j

b) A1 A2 … An=Ω

Operatii cu evenimente

1.implicatia-AÌ B (A implica B) cu A,BÌ W daca B se realizeaza de fiecare data cand se

realizeaza A

2.reuniunea-A B={ωÎ W | ωÎ W sau ωÎ B }, A,BÌ W

3.intersectia- A B={ωÎ W | ωÎ A si ωÎ B }, A,BÌ W

4.diferenta- AB = A -

B

Camp de probabilitate

1.(Ω, Á ,P) - camp de probabilitate , unde Á este un corp borelian pe Ω (adica Á este o familie

nevida de parti ale lui Ω cu proprietatile: AÎ Á Þ -

A Î Á si An Î Á Þ

¥

n= 1

n A Î Á ).Corpul

borelian Á reprezinta multimea evenimentelor asociate experimentelor aleator.

1

2.Fie (Ω, Á ,P) camp de probabilitate si P: Á ® [0,1] asociaza fiecarui eveniment A din Á

numarul P(A) s.n. probabilitate numarabil aditiva(probabilitate) daca satisface urmatoarele

conditii:

a)P(Ω)=1.

b)P(

¥

n= 1

n A ) = å¥

= 1

( )

n

n P A ,unde An Î Á sunt disjuncte doua cate doua.

2’) Fie (Ω, Á ,P) camp de probabilitate si P: Á ® [0,1] asociaza fiecarui eveniment A din Á

numarul P(A) s.n. probabilitate finit aditiva daca satisface urmatoarele conditii:

a) P(Ω)=1.

b) P(

n

i

i A

= 1

) = å

=

n

i

i P A

1

( ) , unde A1,A2,…,AnÎ Á sunt disjuncte doua cate doua.

Definitia clasica a probabilitatii : P = numarul cazurilor posibile

numarul cazurilor favorabile

Î [0,1]

Observatie :Definitia clasica a probabilitatilor se poate folosi numai pentru experientele cu

evenimente elementare egal posibile.

Proprietati

1. P(Ø) = 0

2. P( -

A ) =1- P(A)

3. AÌ BÞ P(A)≤P(B)

4. P(A B)= P(A) + P(B) – P(A B)

3.probabilitate conditionata- {Ω,K,P} camp de probablilitate, BÎ K, P(B)>0, AÎ K atunci:

PB(A) = P(A/B) = ( )

( )

P B

P A B

, iar P(A B) se numeste probabilitatea comuna(joint probability)

4.evenimente independente

- A si B sunt evenimente independente daca P(A B)= P(A)∙P(B)

-A, B, C sunt evenimente independente daca P(A B C) = P(A)∙P(B)P(C) ,

P(A B)= P(A)∙P(B)

P(A C)= P(A)∙P(C)

P(B C)= P(B)∙P(C)

Observatie(formula lui Poincare pentru cazul n=3)

P(A B C) = P(A) + P(B) + P(C) – P(A)P(B) - P(A)P(C) - P(B)P(C) + P(A)P(B)P(C), unde

A ,B, C evenimente independente si incompatibile.