Geometrie Analitică pe Dreaptă

1. Coordonata pe dreapta

Fie dreapta E1 si doua puncte ale sale. Atunci segmental este nenul si are sens urmatoarea:

Definitia 1.1. Sistemul , unde O este un punct fixat iar este vectorul reprezentat de , se numeste reper cartezian pe dreapta.

Punctului E1 îi putem asocia segmentul orientat si deoarece si au aceeasi directie, exista scalarul real astfel încât si acesta este unic.

Am asociat punctului numarul , corespondenta astfel stabilita fiind bijectiva. Ea poarta numele de coordonata carteziana pe dreapta, iar numarul real x se numeste abscisa alui M si se noteaza M(x).

2. Sisteme de coordonate în plan

Definitia 2.1. Sistemul , unde este un punct fixat, iar este o baza a lui V2 se numeste reper cartezian în planul . El se numeste ortonormat daca baza este ortonormata si în acest caz se noteaza .

Fie E2 . Deoarece este o baza a lui V2 vectorul reprezentat de admite descompunerea unica .

Am atasat astfel punctului E2 cuplul , deci am stabilit o corespondenta bijectiva între E2 si , numita functie coordonata în plan. Numerele reale x, y poarta numele de abscisa, respective ordonata a punctului M si se noteaza M(x,y).

Prezentam trei aplicatii ale notiunii de coordonata carteziana în plan.

a). Distanta dintre doua puncte

Fie punctele în planul raportat la reperul cartezian ortonormat .

Avem

si atunci

.

b). Translatia

Consideram reperele carteziene , notam cu coordonatele aceluiasi punct, relativ la si . Daca atunci avem

de unde rezulta

. (1)

Trecerea de la reperul la se numeste translatie, iar ecuatiile (1) sunt ecuatiile acesteia.

c). Rotatia

Consideram reperele carteziene ortonormate în plan si notam cu coordonatele unui punct, relativ la cele doua repere.

Daca unghiul de rotatie este , tinând seama de faptul ca:

,

din

obtinem

(2)

ecuatiile rotatiei.

3. Sisteme de coordonate în spatiu

Definitia 3.1. Sistemul , unde O este un punct fixat din E3 iar este o baza a spatiului vectorial V3 se numeste reper cartezian în E3. Daca baza este ortonormata atunci se numeste reper cartezian ortonormat. Reperul cartezian se numeste drept orientat daca privind din extremitatea lui , sensul lui se obtine din cel al lui , prin rotatie, în sens trigonometric de unghi a carui masura este mai mica de 1800. În caz contrar reperul se numeste stâng orientat.

Reperele carteziene ortonormate drept orientate se reprezinta grafic ca în figura urmatoare:

Presupunem spatiul E3 raportat la un reper cartezian ortonormat drept orientat . Fie E3 . Deoarece este o baza a spatiului vectorial V3, vectorul reprezentat prin segmental orientat admite descompunerea unica

.

Am atasat punctului astfel punctului M, tripletul de numere reale . Corespondente obtinuta