Matematică

Teoria câmpurilor

1. Câmpuri scalare

Fie E3 spaţiul euclidian tridimensional, în care este dat un sistem de axe ortogonale Oxyz. Se numeşte câmp scalar o funcţie , unde : astfel

Mulţimea punctelor P(x,y,z) din spaţiu care satisfac relaţia

(1)

constituie geometric o suprafaţă numită suprafaţă de nivel a câmpului scalar Prin fiecare punct trece o singură suprafaţă de nivel a câmpului , de ecuaţie:

Considerând o curbă netedă , un punct fixat şi un punct oarecare , iar - versorul (vectorul unitar) al tangentei la curbă în punctul P0 , se numeşte derivata câmpului scalar după direcţia în punctul P0 : , unde este lungimea orientată a arcului de curbă Dacă funcţia este diferenţiabilă în punctul P0 , atunci această limită există şi are aceeaşi valoare pentru toate curbele cu acelaşi versor tangent în P0 Valoarea acestei derivate exprimă variaţia câmpului după direcţia în punctul P0. Expresia derivatei câmpului scalar după direcţia , într-un punct oarecare, este:

(2)

Versorul normalei la o suprafaţă de nivel (1) este:

(3)

Atunci derivata câmpului scalar după direcţia este:

Vectorul (4)

se numeşte gradientul câmpului scalar , într-un punct oarecare P. Rezultă

Au loc încă relaţiile: (5)

unde este unghiul între versorii şi ( )

şi (6)

Se observă din (5) că dintre toate derivatele câmpului scalar după o direcţie într-un punct P este maximă după direcţia a normalei la suprafaţa de nivel a cîmpului ce trece prin punctul P.

Regulile de calcul cu derivata după o direcţie şi cu gradientul sunt analoage cu cele pentru derivare (referitor la suma, produsul şi câtul a două câmpuri).

Exemplu: Se dă câmpul scalar , unde punctul P are coordonatele (x,y,z).

a) Să se precizeze domeniul de definiţie D al câmpului dat.

b) Să se determine suprafaţa de nivel (S) care trece prin punctul M (1,1,1).

c) Să se calculeze derivatele câmpului după direcţiile şi în punctul dat M. Să se precizeze care dintre cele două direcţii date face un unghi mai mic cu direcţia normalei în punctul M la suprafaţa de nivel (S).

d) Să se afle direcţia după care câmpul are, în punctul M, variaţie maximă şi să se calculeze această variaţie.

Rezolvare: a) Condiţia de existenţă a funcţiei este , deci domeniul de definiţie este , adică toate punctele din spaţiu situate în afara planului xOy.

b) Prin punctul trece o singură suprafaţă de nivel a câmpului , de ecuaţie: (suprafaţă de gradul doi: paraboloid hiperbolic).

c) Vectorii şi nu sunt unitari: Versorii lor corespunzători sunt Se aplică formula (2):

.

Se observă că şi atunci, ţinând cont de formula (5), rezultă că , deci direcţia (aceeaşi cu ) face un unghi mai mic cu direcţia decât direcţia (aceeaşi cu ).

d) Direcţia după care câmpul are, în punctul M, variaţie maximă este cea a normalei la suprafaţa de nivel ce trece prin M. După formula (3), alegând semnul + se obţine: