Matematici Asistate de Calculator

I. CONSIDERATII TEORETICE

Consideram sistemul de ecuatii liniare Ax = b , unde

Definitia 1. Vectorul x = (x 1 ,..., x n)^t se numeste solutie de baza a sistemului Ax = b daca vectorii coloana ai matricei A corespunzatori componentelor nenule ale solutiei sunt liniar

independenti.

Definitia 2. O solutie de baza a sistemului Ax = b se numeste

nedegenerata daca are exact m componente nenule si degenerata

daca are mai putin de m componente nenule.

Metodele numerice care se folosesc astzi, fie cele clasice, fie cele noi, se utilizeaz

numai prin intermediul calculatorului. inând cont de complexitatea problemelor

utilizatorul trebuie s studieze cazurile în care trebuie s decid ce sistem de calcul va

fi adecvat pentru problema în cauz, dar în acelai timp i s „intuiasc” modul de

abordare a raionamentelor ce trebuie implementate pentru rezolvarea problemei.

Metodele numerice trebuie concepute astfel încât s fie eficiente i numeric stabile.

Eficiena se asigur prin elaborarea unor algoritmi care s implice un numr cât mai

mic de operaii aritmetice elementare.

Ituitiv vorbind, stabilitatea numeric a unui algoritm înseamn ca acesta este cât

mai puin sensibil la erorile de rotunjire sau la alte incertitudini numerice care pot

aparea în procesul de calcul.

Dac toate calculele se fac pe baza unor combinaii convexe, atunci toate rezultatele

intermediare i chiar rezultatul final vor fi în domeniul de mrime al datelor iniiale,

asigurând stabilitatea algoritmului.

Elaborarea unui algoritm numai pe baza unor combinaii convexe nu se poate

realiza în toate cazurile, dar aceast cerin constituie un principiu general ce trebuie

avut în vedere întotdeauna la implementarea metodelor numerice pe calculator.

II.PREZENTARE TEORETICA

2.1 Prezentare teoretica | Metoda Gauss-Seidel

Metoda Gauss-Seidel reprezinta o variant superioara a metodei Jacobi, caracterizata prin viteza de convergenta sportita si necesar de memorie redus.Ideea de baza a metodei Gauss-Seidel consta in utilizarea in procesul iterative Jacobi a celor mai recente component ale solutiei sistemului, pe masura determinarii lor, nu a celor de la iteratia anterioara.

Presupunand ca sistemul de ecuatii liniare A*b a fost pus sub forma redusa

x=S*x+t

relatiile de recurenta care stau la baza metodei Gauss-Seidel sunt:

unde , ca si in cazul metodei Jacobi elementele matricilor S si t au expresiile:

Dupa cum se poate remarca in calculul componentei a solutiei intervin componentele deja calculate la iteratia k, in locul componentelor corespunzatoare de la iteratia anterioara.

Si in acest caz se poate considera ca aproximatie initiala coloana termenilor liberi, adica,

o utilizare alternatica a metodei o constituie insa rafinarea unei aproximatii initiale a solutiei, rezultata eventual prin aplicarea altei metode de rezolvare.

Criteriul de convergenta in metoda Gauss-Seidel poate fi exprimat , ca si in metoda Jacobi, cerand ca eroarea relativa maxima a componentelor solutiei sa devina mai mica decat o toleranta precisa adica