Matematici pentru economiști - tema 1

1. Notiuni recapitulative

1.1. Matrici

Fie K un corp (comutativ) si fie M = {1, 2, ..., m} si N = {1, 2, ....., n}

Vom numi matrice de tip (m, n) o functie:

A: M × N ’ K. Notam A = ( i, j )i M,j N a   , i, j a  K si scriem

A  Mm, n (K)

Observatii:

1. Daca n = 1 atunci A  Mm, 1 (K) se numeste matrice coloana.

Exemple: A  M2, 1 (R) Ÿ

2. Daca m=1 atunci A  M1, n (K) se numeste matrice linie

Exemple: A  M1, 2 (R) A=(2 3)

B  M1, 3 (R) B = ( 1 0 -5)

3. Daca m = n atunci A  Mn (K) se numeste matrice patratica

Exemple: A  M2 (K) Ÿ

Operatii:

1. Fie A, B  Mm, n (K) atunci matricea suma C  Mm, n (K)

C = ( ) i, j i M, j N c   astfel încât i,j i,j i,j c =a +b

Proprietati: 1) comutativitate: A + B = B + A, A, B  Mm, n (K)

2) asocialivitate: (A + B) + C = A + (B + C), A, B, C,  Mm, n (K)

3) element neutru: A + Om, n = Om, n + A = A, A  Mn, n (K)

unde Om, n este matricea nula (matricea cu toate elementele nule).

4) element opus: A + (-A) = (-A) + A = Om, n A  Mn, n (K)

unde – A = (-aij) iM, jN

2. Fie A  Mn, n (K) si B  Mn, p (K) atunci matricea produs

2

C = A × B unde ci,k = £ai,kÅbj,k j  N

Proprietati: 1) asociativitate: A(BC) = (A B) C

A  Mm, n (K), B Mn, p (K) C  Mp, k (K)

2) element neutru: () A  Mn (K) () In  Mn (K) a ‘

3) distributivitatea inmultirii fata de adunare:

A (B + C) = AB + AC A  Mm, n (K), B, C  Mn, p (K)

3) Fie ± K si A  Mm, n (K) atunci ± Å A = (± aij)i  M, j  N

4) Transpusa unei matrici A Mm, n (K) este A  Mn, m (K)

aji = aji ()i, j.

Proprietati: 1) t(A+B) = tA + tB

2) t(AÅB) = tB Å tA

3) t(±A) = ± tA

1.2. Determinanti

Definitie: Fie A  Mn (R), R – inel.

Elementul din inelul R : det 15(1) nT(n)

unde Sn este multimea permutarilor de grad n, £ (T) singulara permutarii T se

numeste determinantul asociat matricii A.

Observatii:

1) notiunea de determinant pentru o matrice are sens doar daca este patratica

2) matricea este o functie iar determinantul este un numar

3) în dezvoltarea determinantului exista

n! termeni pozitivi si tot atâtia

negativi

4) daca n = 1 atunci det A = a11

Calculul determinantilor:

A atunci det A = a11 Å a22 – a12 Å a21

A atunci

det A = a11 a22 a33 + a12 a23 a31 + a21 a32 a13 – a13 a22 a31 – a23 a32 a11 – a12 a21 a33

3) având ordinul matricii n e 4, calculul determinantilor se face prin

dezvoltarea pe linie (sau pe coloana) astfel:

d = ai1 ´i1 + ..... + ain ´in si se numeste dezvoltarea determinantului pe linia i

unde ´ij = (-1)i+j dij se numeste complement algebric iar dij se numeste minorul asociat

elementului aij (se obtine din determinantul initial suprimând linia i si coloana j).

Dezvoltarea determinantului dupa coloana j este urmatoarea:

3

d = aij ´ij + a2j ´2j + .... + anj ´nj

Proprietati: det (A Å B) = det A Å det B formula obisnuita dupa formula lui

Binet-Cauchy.

Definitie: A  Mn (R) este inversabila daca () B  Mn (R) astfel încât

A Å B = B Å A = In. si notam: B = (A)-1

Teorema : A  Mn (R) este inversabila Ô det A ` 0