Matematici pentru economiști - tema 3

Definitie: Fie V, V’ doua spatii vectoriale peste acelasi corp de scalari K de

dimensiuni n respectiv m. O aplicatie T : V ’ V’ se numeste aplicatie (transformare

sau operator) liniara daca este aditiva si omogena, deci daca verifica:

a) T (x + y) = T(x) + T(y), () x, y  V

b) T(±x) = ±T(x), ()±  K, x  V.

Teorema Aplicatie T : V ’ V’ este aplicatie liniara daca si numai daca:

T(±x + ²y) = ±T(x) + ²T(y), () ±, ²  K, x, y  V.

Exemplul 1

Sa se arate ca aplicatia T : R2 ’ R3 unde

T(x1, x2) = (x1 + x2, –x2, – x1–x2) este liniara

Rezolvare: Conform teoremei enuntate mai sus vom arata ca:

T(±x + ²y) = ±T(x) + ²T(y) () ±, ² R, x, y R2 Ô

T(±x1 + ²y1, ±x2+ ²y2) = ±T(x1, x2) + ²T(y1, y2) Ô

(±x1 + ²y1 + ±x2 + ²y2, – ±x2 – ²y2, – ±x1 – ²y1 – ±x2 – ²y2) =

= ±(x1 + x2, –x2, – x1 –x2) + ²(y1 + y2, –y2, – y1 –y2) (A).

Teorema: Fie V, V’ doua spatii vectoriale peste acelasi corp de scalari K;

B = {a1, a2, ..., an} baza a spatiului vectorial V si B’ = {b1, b2, ..., bn} baza a

spatiului V’. Fie ai un vector oarecare din B atunci T(ai)  V’ si poate fi reprezentat în

mod unic în functie de vectorii bazei B’:

T(ai) = ±1b1 + ±i bi+ ... + ±inbn.

Matricea formata din coordonatele vectorilor T(a1), T(a2), ... , T(an) în baza B’

se va numi: matricea asociata aplicatiei liniare T în raport cu perechea de baze

{B, B’}.

Exemplul 2:

Fie aplicatia liniara T : R2 ’ R3, T(x1, x2) = (x1 + x2, – x2, – x1 –x2)

a) Sa se determine matricea asociata aplicatiei liniare T în raport cu perechea

de baze: B = {a1, a2} si B’ = {b1, b2, b3},

b) Sa se determine matricea asociata aplicatiei liniare T în raport cu bazele

canonice.

Rezolvare:

a) T(a1) = T(1, 1) = (2, –1, –2)

T(a2) = T(–1, 3) = (2, –3, –2).

2

Coordonatele acestor doi vectori în baza B’ sunt:

(10/4, –9/8, 1/8) si respectiv (–5/2, 1/8, 7/8). Deci

T(e1) = T(1, 0) = (1, 0, –1)

T(e2) = T(0, 1) = (1, –1, –1).

Coordonatele acestor doi vectori în baza B’ sunt

(1, 0, –1) si respectiv (1, –1, –1) si deci

1.2. Valori proprii si vectori proprii asociati aplicatiei liniare.

Definitie: Fie V spatiu vectorial n – dimensional peste corpul de scalari K si T

: V ’ V o aplicatie liniara. Un scalar »  K se numeste valoare proprie pentru

aplicatie liniara T daca exista cel putin un vector nenul v  V astfel încât:

T(v) = »v. (1)

Definitie: Vectorul nenul v  V care verifica relatia (1) se numeste vector

propriu pentru aplicatia T asociata valorii proprii ».

Prezentam în continuare modul de determinare al valorilor si vectorilor proprii

pentru o aplicatie liniara.

Fie T : V ’ V’ o aplicatie liniara cu matricea aplicatiei AT definita în baze

canonice.

Relatia (1) se mai scrie: T(v) – »v = 0 sau ( ) 0 T n v A »E v= (2)

Relatia (2) reprezinta scrierea matriciala a unui sistem omogen. În consecinta

coordonatele vectorului propriu v nenul sunt solutiile sistemului omogen (2). Solutiile

sistemului omogen (2) nu sunt toate nenule numai daca determinantul sistemului este

nul: P(») = det (AT - »En) = 0

Polinomul P(») se numeste polinomul caracteristic asociat aplicatiei liniare T

si ecuatia P(») = 0 se numeste ecuatia caracteristica a aplicatiei T.

3

Teorema: Fie T: V ’ V’, »  K este o valoare proprie a aplicatiei liniare T

daca si numai daca este radacina a ecuatiei caracteristice.