Matematici Speciale

Numere complexe

1. Corpul numerelor complexe.

1. Scurt istoric

2. Construcţia corpului numerelor complexe

3. Modul, argument, conjugat

4. Forma trigonometrică

5. Forma exponenţială

6. Radicalul dintr-un număr complex

7. Ecuaţia de gradul doi în complex

1 Corpul numerelor complexe.

1.1 Scurt istoric

Numerele complexe au apărut în istoria omenirii în jurul anului 1600, când, în procesul

rezolvării ecuaţiei de gradul al treilea prin formulele lui Cardan, apăreau în calculele intermediare

radicalii din numere negative, radicali care se reduceau în rezultatul final. Din

acest motiv au fost numite numere imaginare.

Corpul numerelor complexe este o extindere algebrică a corpului numerelor reale.

Importanţa lui este demonstrată de teorema fundamentală a algebrei : Orice polinom

cu coeficienţi complecşi de grad cel puţin unu are cel puţin o rădăcină complexă. Deci,

o dată cu trecerea la numerele complexe, procesul de rezolvare a ecuaţiilor algebrice este

încheiat. Pentru a obţine această realizare a fost însă nevoie să sacrificăm ordinea. În

timp ce mulţimile de numere naturale, întregi, raţionale, reale au o relaţie de ordine compatibilă

cu operaţiile algebrice, în complex nu poate exista o asemenea relaţie.

1.2 Construcţia corpului numerelor complexe

Un număr complex este o pereche ordonată de numere reale.

Se ştie, încă din clasa a XII-a că mulţimea C=R×R={(x, y) | x, y∈R} împreună cu

legile de compoziţie:

(x, y)⊕(u, v)8 (x+u, y +v)

(x, y)⊙(u, v)8(xu−yv , xu+ yv)

formează un corp comutativ.

Sub această formă, de perechi ordonate, este destul de dificil de lucrat cu numerele

complexe. De exemplu să calculăm:

(0, 1)⊙(0, 1)=(0·0−1·1, 0·1+1·0)=(−1, 0)

(b , 0)⊙(0, 1)=(b·0−0·1, 0·0+b·1)=(0, b)

(1, 1)2014

Se cunoaşte că submulţimea R8{(x, 0) | x∈R} ⊂C este parte stabilă a corpului

numerelor complexe şi, faţă de legile induse, formează un subcorp comutativ, izomorf cu

R, izomorfismul fiind dat de corespondenţa R∋(x, 0)x ∈R. Atunci avem :

(x, y)=(x, 0)⊙(1, 0)⊕(y, 0)⊙(0, 1)x+iy cu i2=−1

Sub această formă, numită forma algebrică a numerelor complexe, operaţiile uzuale :

adunarea, înmulţirea, împărţirea se fac mai uşor.

Exemple:

(1+2i)(3−i)=1·3+2·3i−i−2i2=3+5i+2=5+5i

(1+i)2=1+2i+i2=1+2i−1=2i

2+i

2−3i

=

(2+i) (2+3i)

(2−3i)(2−3i)

=

4+2i+6i+3i2

4−9i2 =

4−3+8i

4+9

=

1

13 +

8

13 i

(a+ib)(a−ib)=a2+b2

Întrucât (1, 1)1+i, avem (1, 1)2014=(1+i)2014=[(1+i)2]1007=(2i)1007=−21007i.

Puterile lui i

i1=i i5=i

i4m+1=i

i2=−1 i6=−1

i4m+2=−1

i3=−i i7=−i

i4m+3=−i

i4=1 i8=1

i4m+4=1