Matematici speciale - funcții complexe

1. Numere complexe

Un număr complex se defineşte ca o pereche ordonată de numere reale unde a se numeşte partea reală, iar b – partea imaginară a numărului complex z, notate

Mulţimea numerelor complexe astfel considerată se notează cu Se observă similaritatea cu mulţimea , dar în cele ce urmează va fi structurată diferit.

Egalitatea a două numere complexe şi

Operaţii cu numere complexe:

Adunarea numerelor complexe: , adică se adună părţile reale între ele şi părţile imaginare între ele. Adunarea asfel definită (ca în ) este asociativă, comutativă, admite element neutru (nul) – zero complex , iar fiecare număr complex admite un număr complex opus Adunarea cu opusul unui număr conduce la operaţia de scădere a numerelor complexe. Mulţimea înzestrată cu operaţia de adunare astfel definită are o structură de grup aditiv comutativ.

Înmulţirea unui număr complex cu un număr real : ,

Proprietăţile acestei operaţii definite pe grupul comutativ structurează această mulţime ca spaţiu vectorial (liniar) real (peste corpul ) izomorf cu Baza standard a acestui spaţiu vectorial de dimensiune 2 este notată: = unitatea reală şi = unitatea imaginară. Astfel, orice număr complex z se scrie , sau pe scurt :

Această notaţie se numeşte forma algebrică a unui număr complex.

Observaţii: Numerele de forma se identifică cu numerele reale. În particular Astfel

Numerele de forma se numesc numere pur imaginare.

Înmulţirea numerelor complexe:

Înmulţirea asfel definită este asociativă, comutativă, admite element neutru (unitate): - unitatea în complex este unitatea reală, iar fiecare număr complex nenul admite un număr complex invers Înmulţirea cu inversul unui număr conduce la operaţia de împărţire a numerelor complexe. Mulţimea înzestrată cu operaţia de înmulţire astfel definită are o structură de grup multiplicativ comutativ. În plus înmulţirea este distributivă faţă de adunare. Astfel înmulţirea definită pe grupul aditiv structurează această mulţime ca un corp comutativ (câmp).

Calculând după definiţia înmulţirii: , adică

În corpul comutativ nu există divizori ai lui zero: sau

Observaţii: Regulile de calcul (adunarea şi înmulţirea definite mai sus) se transcriu mai simplu , folosind (2), devenind asemănătoare operaţiilor cu polinoame:

Numărul complex se numeşte conjugatul numărului complex

Numărul real se numeşte modulul numărului complex Are loc relaţia Cu acestea se arată că împărţirea a două numere complexe se face prin amplificarea cu conjugatul numitorului (împărţitorului):