Semnale Sinusoidale

Semnale sinusoidale

1 Multimea semnalelor sinusoidale sincrone

Definitia 1.0.1 O functie s : [0;+1) ! R se numeste semnal sinusoidal daca este de forma:

s (t) = Asin (!t + ') ; (1.1)

unde: 8<:

A  0 se numeste amplitudine;

! > 0 se numeste pulsatie;

' 2 [0; 2) se numeste faza.

(1.2)

Observatia 1.0.2 Un semnal sinusoidal este o functie periodica, având perioada principala:

Definitia 1.0.3 Doua semnale sinusoidale se numesc sincrone daca au aceeasi pulsatie. Multimea semnalelor

sinusoidale sincrone de pulsatie fixata ! > 0 se noteaza S! :

S!

def

= fs : [0;+1) ! R j s (t) = Asin (!t + ') ;A  0; ! > 0; ' 2 [0; 2)g : (1.4)

Observatia 1.0.4 Doua semnale sinusoidale sincrone au aceeasi perioada principala.

1

1.1 Structura algebrica a multimii semnalelor sinusoidale sincrone

Pe multimea semnalelor sinusoidale sincrone de pulsatie data ! > 0 vom studia doua operatii uzuale cu functii:

adunarea si înmultirea cu scalari reali.

1.1.1 Adunarea semnalelor sinusoidale sincrone

În cele ce urmeaza, vom vedea ca rezultatul adunarii a doua semnale sinusoidale sincrone este tot un semnal

sinusoidal, de aceeasi pulsatie cu cele doua semnale initiale. Mai departe, vom determina structura algebrica a

multimii S! înzestrata cu operatia de adunare.

Propozitia 1.1.1 Adunarea functiilor este o lege de compozitie pe multimea S!:

Demonstratie

Fie doua semnale sinusoidale sincrone s1; s2 2 S!;

sk (t) = Ak sin (!t + 'k) ; k = 1; 2 (1.5)

Calculând succesiv:

s1 (t) + s2 (t) = A1 sin (!t + '1) + A2 sin (!t + '2) =

= A1 (sin !t cos '1 + cos !t sin '1) + A2 (sin !t cos '2 + cos !t sin '2) =

= (A1 cos '1 + A2 cos '2) sin !t + (A1 sin '1 + A2 sin '2) cos !t;

va rezulta (vezi Anexa 2):

s1 (t) + s2 (t) =  Asin (!t + ') ; A2

1 + A2

2 + 2A1A2 cos ('1 � '2) 6= 0

0; A2

1 + A2

2 + 2A1A2 cos ('1 � '2) = 0

; (1.6)

unde:

A = qA2

1 + A2

2 + 2A1A2 cos ('1 � '2); (1.7)

' este definit prin8>><>>:

cos ' =

A1 cos '1 + A2 cos '2 pA2

1 + A2

2 + 2A1A2 cos ('1 � '2)

sin ' =

A1 sin '1 + A2 sin '2 pA2

1 + A2

2 + 2A1A2 cos ('1 � '2)

(1.8)

Întrucât functia identic nula poate fi reprezentata ca un semnal sinusoidal, a carui amplitudine este 0 si faza

este nedeterminata:

0 = 0 sin (!t + ') ; (8) ' 2 [0; 2) (1.9)

va rezulta ca multimea S! este parte stabila în raport cu adunarea functiilor reale.

Propozitia 1.1.2 Pentru orice semnal sinusoidal s din multimea S!; exista un semnal sinusoidal s0 2 S! astfel

încât s + s0 = 0:

Demonstratie

Fie s 2 S!; s = Asin (!t + ') ; A  0; ! > 0; ' 2 [0; 2): Se remarca imediat ca defi